Задание
Для дифференциального уравнения второго порядка из предложенного варианта
,
,
,
1) Получить точное решение уравнения с заданными начальными условиями;
2) Написать программу численного интегрирования дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Для оценки точности вычислений воспользоваться правилом Рунге;
3) Найти численное решение дифференциального уравнения с точностью 0.0001 и оценить погрешность как максимум разности в узлах между точным решением и решением, полученным численным методом.
4) Оформить отчет по теме «Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений». Он должен содержать описание использованного численного метода, аналитическое решение, результаты расчетов и текст программы.
КМ-7: Поведение, прилежание и посещаемость во втором модуле – максимум 3 балла.
МОДУЛЬ 3: Численные методы решения задач оптимизации
КМ-8: Домашнее задание №3. Численные методы решения задач оптимизации
Сроки выполнения: выдача –12-я неделя; прием – 15-я неделя
Методические пособие: МП-7.
Типовое задание (максимум 12 баллов).
Задание
1.Найти экстремум
функции
аналитически.
Написать программу нахождения экстремума функции:
а) Методом покоординатного спуска.
б) Методом наискорейшего градиентного спуска.
2. Оформить отчет по теме «Численные методы решения задач оптимизации», содержащий:
1) Теоретическую часть.
2) Аналитическое решение.
3) Текст программы.
4) Результаты (численные и аналитические).
КМ-9: Поведение, прилежание и посещаемость в третьем модуле – максимум 3 балла.
ПРОГРАММЫ ПО ТЕОРИИ К МОДУЛЯМ
Модуль 1: Приближение функций
1. Задача приближения функций. Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Линейная и кубическая сплайн – интерполяция. Метод наименьших квадратов.
2. Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод Ньютона, его реализации и модификации. Скорость сходимости метода Ньютона.
Модуль 2: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
3. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Порядок точности. Правило Рунге вычисления погрешности. Уточнение по Ричардсону. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью.
4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Разностная аппроксимация производных. Явный метод Эйлера. Методы Рунге – Кутта решения задачи Коши для систем ДУ первого порядка. Алгоритм метода при решении задачи с заданной точностью.
5. Многошаговые методы решения дифференциальных уравнений. Методы Адамса. Явные и неявные схемы. Неявный метод Эйлера и метод трапеций. Проблема численной устойчивости. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Понятие о жестких уравнениях и системах. Устойчивость и неустойчивость некоторых простейших разностных схем.