Модуль 3: Численные методы решения задач оптимизации

Занятие 7-8. Численные методы решения задач оптимизации. Метод дихотомии. Метод золотого сечения. Многомерная оптимизация. Метод покоординатного и наискорейшего спуска. Выдача вариантов заданий к лабораторной работе.

Лабораторные работы

1. Сплайн-интерполяция.

2. Метод наименьших квадратов.

3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений.

4. Численное интегрирование.

5. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Численные методы решения задач оптимизации.

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ

МОДУЛЬ 1: Приближение функций

КМ-1: Домашнее задание №1. Сплайн-интерполяция

Сроки выполнения: выдача –1-я неделя; прием – 4-я неделя

Методические пособие: МП-1.

Типовое задание (максимум 8 баллов).

Задание

1. Для функции построить таблицу значений = на отрезке с шагом .

2. По полученной таблице вычислить коэффициенты сплайна, используя метод прогонки.

3. Вычислить значения сплайна и заданной функции в серединах получившихся интервалов, т.е. в точках

4. Вычисления произвести при n = 5, 25, 125.

5. Оформить таблицу, столбцами которой являются:

1. Значения

2. Значения заданной функции

3. Значения сплайна при n = 5

в серединах получившихся интервалов.

4. Значения сплайна при n = 25

,

т.е. в тех же точках, что и при n = 5.

5. Значения сплайна при n = 125

,

т.е. в тех же точках, что и при n = 5.

Убедиться, что при увеличении n качество сплайн-интерполяции повышается.

6. Оформить отчет по теме «Сплайн-интерполяция», содержащий:

1) Теоретическую часть.

2) Текст программы.

3) Таблицу с результатами.

КМ-2: Лабораторная работ № 1 Метод наименьших квадратов.

Сроки выполнения: выдача –3-я неделя; прием – 5-я неделя

Методические пособие: МП-1.

Типовое задание (максимум 7 баллов).

Задание

1. Для функции построить таблицу значений = на отрезке с шагом . По полученной таблице методом наименьших квадратов найти линейную функцию, параболу и кубическую функцию, на которых минимизируется сумма квадратов невязок.

2. Результаты программы оформить в виде таблицы, столбцами которой являются:

1. Значения .

2. Значения заданной функции

3. Значения получившейся линейной функции в точках

4. Значения получившейся параболы в точках

5. Значения получившейся кубической функции в точках

6. Три столбца значений невязок для линейной функции, параболы и кубической функции в точках

7.Суммарная невязка в нижней строке для соответствующих столбцов.

3. Оформить отчет по теме «Метод наименьших квадратов», содержащий:

1) Теоретическую часть.2) Текст программы. 3) Таблицу с результатами.

КМ-3: Лабораторная работа №2. Численные методы решения систем нелинейных уравнений.

Сроки выполнения: выдача –6-я неделя; прием – 8-я неделя

Методические пособие: МП-1.

Типовое задание (максимум 7 баллов).

Задание

1.Решить аналитически систему уравнений .

2. Решить графически систему уравнений с помощью программы построения графиков функций.

1. Написать программу решения системы уравнений методом Ньютона. В качестве начального приближения брать результаты графического решения. Сравнить результаты аналитического решения и графического.

2. Оформить отчет по теме «Численные методы решения систем нелинейных уравнений», содержащий:

1) Теоретическую часть.

2) Графическое решение системы нелинейных уравнений.

3) Текст программы.

4) Результаты.

КМ-4: Поведение, прилежание и посещаемость в первом модуле – максимум 3 балла.

МОДУЛЬ 2: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

КМ-5: Лабораторная работа №3. Численное интегрирование.

Сроки выполнения: выдача –8-я неделя; прием – 11-я неделя

Методические пособия: МП-2.

Типовое задание (максимум 7 баллов).

Задание

Вычислите интеграл :

1) аналитически, 2) численно с точностью до = 0.000001:

• по формуле средних прямоугольников,

• по формуле трапеций,

• по формуле Симпсона.

Точность вычислений определяется по практическому правилу Рунге.

3) Оформите отчет по теме «Численное интегрирование». Отчет должен содержать описание использованного метода, результаты и текст программы.

КМ-6: Домашнее задание №2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Сроки выполнения: выдача –10-я неделя; прием – 13-я неделя

Методические пособие: МП-1.

Типовое задание (максимум 11 баллов).