Расчет размеров участка сферической (уроненной) поверхности земли для обобщения до горизонтальной плоскости.

И так, в первом приближении уровенная поверхность Земли может б ыть принята за сферу. Покажем, что сравнительно небольшой участок уровенной поверхности Земли с достаточной для практических целей степенью приближения можно считать плоскостью.

Пусть АВВ (рис. 1.3) часть уровенной поверхности Земли, принима­емой за шар с центром С и радиусом Н. Обозначим длину дуги АВВ через d. Проведем в средней точке В дуги АВВ касательную к ней и про­должим радиусы СА и СО до пересечения с касательной в точках А' и В' . Подсчитаем, какая ошибка произойдет от замены дуги отрезком касательной А'В' = S. Для этого определим разность

(1.2)

Обозначим центральный угол АСD через ε. Тогда

(1.3)

Раскладывая в ряд и ограничиваясь при этом двумя членами

разложения, получим

(1.4)

Где ε — выражено в радианной мере. В свою очередь, как центральный угол

(1.5)

поэтому формула (1.4) примет вид

(1.6)

Подставив (1.6) в (1.3), получим

(1.7)

Отсюда видно, что отрезок касательной S длиннее дуги d.

Найдем отношение ошибки ΔS к d, которое в геодезии принято называть относительной ошибкой.

(1.8)

Приняв R = 6371,11 км, подсчи­таем величину выражений (1.7) и (1.8)

для различных значений d. Результаты подсчетов представлены в табл. 2.

Таблица 2.

d км	ΔS см		d км	ΔS м
20 30 40	1.64 5.55 13.1	1 / 1 218 000 1 / 541 000 1 / 304 000	50 100	0.26 2.05	1 / 195 000 1 / 40 000

Чтобы правильно понять получившиеся в табл. 2 результаты, ука­жем, что при современном уровне техники геодезических измерений наиболее высокая точность измерений линий длиной 10—20 км характеризуется относительной ошибкой порядка 1 / 1 000 000.

Отметим, что при относительной ошибке 1/1 218 000 дугу сферической поверхности Земли длиной d = 20 км можно заменить отрезком касатель­ной в средней точке этой дуги. Так как получающаяся при этом относи­тельная ошибка меньше, чем относительная ошибка самых высокоточных измерений длин линий, то такая замена практически не будет ощутима. Следовательно, участок сферической (уровенной) поверхности Земли диаметром в 20 км, т. е. площадью 300—320 км², можно с практически неощутимой погрешностью принять за плоский, а кривизной поверх­ности Земли в пределах указанного участка можно пренебречь. Данные табл. 2 показывают, что с несколько большей относительной ошибкой в длинах линии замену сферической (уроненной) поверхности плоскостью можно производить на участках довольно значительных по площади (например, на участке площадью 1200—2000 км²) с относительной ошибкой .