- •§1. Векторная функция
- •§2. Понятие кривой. Огибающая однопараметрического семейства линий
- •§3. Касательная кривой. Главная нормаль. Бинормаль. Нормальная плоскость. Соприкасающаяся плоскость. Спрямляющая плоскость.
- •§4. Длина дуги. Натуральный параметр. Кривизна и кручение. Натуральные уравнения кривой
- •§5. Понятие поверхности
- •§6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Огибающая, характеристика, ребро возврата семейства поверхностей
- •§7. Квадратичные формы поверхности
§7. Квадратичные формы поверхности
В задачах 7.1 — 7.4 найти первую квадратичную форму следующих поверхностей:
7.1. (сфера);
7.2. (тор);
7.3. (эллиптический параболоид);
7.4. , (однополостный гиперболоид вращения).
7.5. Найти угол, под которым пересекаются линии u + v = a и u – v = a на поверхности , .
7.6. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением , на поверхности с первой квадратичной формой I = du2 + между точками M1(u1, v1) и M2(u2, v2).
7.7. Найти площадь четырехугольника, лежащего на поверхности с первой квадратичной формой I = du2 +(u2 + a2)dv2, ограниченного линиями u = 0, u = a, v = 0, v = b.
7.8. Найти угол между линиями v + u = 0, v + u = 0, где , на поверхности с первой квадратичной формой I = du2 +dv2.
7.9. Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника, ограниченного линиями u = av, u = –av, v = 1, лежащего на поверхности с первой квадратичной формой I = du2 + (u2 + a2)dv2.
7.10. Дана поверхность z = xy. Найти угол между координатными линиями x = x0, y = y0.
7.11. Вычислить длину дуги между точками , линии , расположенной на поверхности .
В задачах 7.12 — 7.15 найти вторую квадратичную форму следующих поверхностей:
7.12. ;
7.13. ;
7.14. ;
7.15. , .
7.16. Вычислить нормальную кривизну поверхности в точке P(0, 0) в направлении dy : dx = .
7.17. Найти нормальную кривизну гиперболического параболоида z = x2 – y2 в точке М(x = 0, y = 0) в направлении dy : dx = : .
7.18. На поверхности дана точка М(u = 1, v = 1). Вычислить кривизну нормального сечения в точке М, проходящего через касательную к линии v = u2.
7.19. В каком направлении нормальная кривизна эллиптического параболоида z = axy в точке М(x = 0, y = 0) принимает наибольшее значение?