БИЛЕТ 1.
Матрица – упорядоченная таблица каких-либо элементов, если эти элементы – числа, то матрица – числовая.
Если кол-во столбцов = кол-ву строк, то такая матрица – квадратная.
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы по главной диагонали отличны от 0, а остальные элементы = 0. Также диагональ может быть побочной.
Матрица называется единичной, если элементы главное диагонали = 1, а остальные = 0.
Матрица называется треугольной, если все элементы под или над главной диагональю = 0.
Действия над матрицами:
1)Сложение – суммируются соответствующие элементы матриц.
-
А+В=В+А
-
(А+И)+С=А+(В+С)
2)Умножение на число – умножается каждый элемент матрицы на число.
-
k*A=A*k
-
k*(A+B)=k*A+k*B
-
(k*m)*A=(k*A)*m
3)Умножение матриц возможно только когда кол-во столбцов A соответствует кол-ву строк В. Это перемножение соотв. элементов строки А с соотв. элементами строки В.
-
А*В≠В*А, если В*А=А*В, то матрица перестановочная
-
k(A*B)=(k*A)*B
-
k*m(A*B)=(k*A)(m*B)
-
A(B+C)=A*B+A*C
4)Транспонирование – замена строк столбцами
-
(Ат)т=А
-
(А*В)т=Вт*Ат
-
(А+В)т=Ат+Вт
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 2.
Определитель – числовая характеристика квадратичной функции.
Определитель записывается в квадратных скобках. Внутри них можно совершать разные манипуляции. Обозначается как det(A), |А| , Δ (A) или Δ.
Если состоит из одного числа, то записывается как .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 3.
Минор – определитель на 1 меньшего порядка, который остается после вычеркивания i-строки и j-столбца.
Алгебраическое дополнение элемента aij – минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j и обозначается Aij=(-1)i+j*Mi+j.
i+j – четные, то +. i+j – нечетные, то -.
Теорема разложения
Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки\столбца на соответствующее дополнение.
Теорема аннулирования
Сумма произведений элементов любой строки на алгебраическое дополнение элементов другой строки = 0.
Фундаментальное тождество
Правило Сарруса для определителя третьего порядка
1)перемножить со знаком + элементы главной диагонали и параллельные ей с углом
2)перемножить со знаком – элементы побочной диагонали и параллельные ей с углом
3) сложить все
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 4.
-
Если поменять строки и столбцы местами, не меняя их взаимного расположения, то det=detT
-
Если поменять 2 строки местами, то знак det станет противоположным.
-
Если в det 2 одинаковые строки, то он = 0.
-
Общий множитель какой-либо строки можно вынести за знак определителя (det).
-
Величина det не изменится если к какой-либо строке прибавить другую строку умноженную на число, не 0.
-
Если в det 2 пропорциональные строки, то det = 0.
-
Если в det какую-либо строку представить в виде суммы, то det = сумме det.
-
если в det есть 0-вая строка, то det = 0.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 5.
Для того, чтобы найти обратную матрицу нужно, чтобы det≠0.
Формула
Матрица, det которой = 0 – невыраженная, неособенная.
-
Если матрица имеет обратную, то это обратная единственная для матрицы.
-
Det A и det обратной A – взаимообратные.
-
(A-1)-1)=A
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 6.
Метод Крамера
Если главный определитель системы отличен от 0, то система умеет решение и при том только одно.
Формула Крамера, где det – главный определитель. А det1,2,3 – частные определители, которые получается путем замены соответствующего столбца столбцом из свободных членов.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 7.
Метод Гаусса
-
Прямой ход: Составляем расширенную матричную систему и с помощью элементарных преобразований доводим ее до треугольного вида.
-
Обратный ход: Последовательно находим неизвестные переходя от последнего к первому.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 8.
Матричный метод
Вводим обозначения A,B,X.
A*X=B
A-1*A*X=A-1*B; (A-1*A=E, EX=X); X=A-1*B
Матрица A-1 существует только когда det≠0.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 9.
Если каждому элементу x є D можно поставить соответствующую по какому-нибудь правилу или закону один элемент y є E, то y называется функцией х и обозначается y=f(x), где f – совокупность математических действий над значением переменной х, в результате чего получается одно значение переменной y.
Способы задания функций:1)Табличный; 2)Графический, когда график рисует игла самописца или осцинографа; 3)Аналитический а)В явном виде, когда равенство, задающее функцию. разрешено относительно у; б) В неявном виде, когда равенство, задающее функцию, не может быть разрешено относительно у; в)Параметрический, прямые х и у не связаны друг с другом на прямую, а посредствам промежуточной переменной – параметра.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет 10.
-
у=x ͣ Степенная функция
-
y=A ͯ Показательная функция
-
y=logaX Логарифмитрическая функция
-
y=sinX Тригонометрическая функция
-
y=arccosX Обратная тригонометрическая функция
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет 11.
Если аргумент U функции y=f(u) является в свою очередь функцией для независимой переменной Х, т.е. u=f(x), то функция y=f(u(x)) называется сложной функцией или функцией в функции. Если равенство, задающее функцию, разрешить относительно Х, то получим х=φ(y). Будем теперь считать х – функцией, а y- аргументом, переобозначим эти пересечения, тогда функция y=φ(x) будет называться обратной для функции y=f(x). Графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы, проходящей 1ого и 3 ого координатных углов.
Замечание: если функция монотонна на некотором интервале, то она имеет обратную функцию.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 12.
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ-это функция, определенная на множестве натуральных чисел. Её также называют нумерованной переменной и обозначают Хn=f(n), где n=1,2,3…
ЧП считается заданной, если указано правило, по которому можно для любого n вычислить соответствующий член ЧП. Способы задания ЧП:
-
формулой общего члена Xn=n/(n²-1)
-
Рекуррентной формулой (закон перехода от n-ного члена к n+1 члену)
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 13.
Чисоло А называется пределом ЧП Xn при X → ∞, если для любого малого сколько угодного числа Е, то найдется такой номер N, начиная с которого для всех последующих значений n будет выполняться неравенство |Xn-A|<E.
Теорема: если ЧП имеет конечный предел, то этот предел единственный, то есть одна ЧП не может иметь 2 различных предела.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
БИЛЕТ 14.
Если для лубого сколь угодно большого числа m>0 можно указать такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство Xn>m, то есть число ЧП будет ограниченно вырастать, то говорят, что ЧП имеет бесконечный предел.
Lim Xn = +∞
n→∞
ЧП Xn называется ограниченной, если найдется такое положительное число M, что для всех M выполняется неравенство |Xn|≤M
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет 15.
Монотонное ограниченик ЧП имеет конечный предел, т.е. если ЧП возрастает и ограничен сверху числом М, то она имеет конечный предел М>0, Lim Xn =A≤M, при n→∞ или ЧП убывает и ограничено снизу числом M, то lim Xn = B≥M
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------