Билет 16.
Число А называется пределом функции y=f(x) при x→ +∞ или x→-∞, если для любого сколь угодно малого числа E>0 найдется такое число N, начиная с которого выполняется неравенство |f(x)-A|<E Lim f(x) =A при X→+∞ и →-∞
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет 17.
Число А называется пределом функчии y=f(x) при х→хₒ, если для любого сколь угодно малого числа E>0 найдется такое число δ>0, что для всех X≠0 удовлетворяющих неравенство |f(x)-A|<Е. Если х→хₒ так что всегда х<хₒ, то предел функции y=f(x) при таком поведении аргумента называется левосторонним(пределом с лева или левым пределом). Он обозначается: Lim f(x) при х→хₒ( х<хₒ) > Lim f(x) при х→хₒ-0.
Если х→хₒ так, что всегда х>хₒ, то соответствующий предел функции называется правосторонним и обозначается lim f(x) прии х→хₒ=0.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет 18.
1.y=f(x) называется ББВ при х→хₒ(х→∞), если lim f(x)=±∞.
y=f(x) называется БМВ при х→хₒ(х→∞), если lim f(x)=0 при х→хₒ(х→∞)
2.y=f(x) или ЧП Xn называется БМВ при данном поведении аргумента, если можно указать такой интервал изменения аргумента, где выполняется неравенство |α (x)|<E или |α(n)|<E.
1 и 2 эквиваленты т.к. в данном случает А=0.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет 19.
Если a(x) = БМВ, то величина 1/α (х) есть ББВ и наоборот.
Док-во: По определению 2 найдется такой интервал изменения аргумента, в котором будет выполняться неравенство |α (x)|<E и перепишем это неравенство так: 1/Е<1/α (х), |1/α(х)|<1/Е=М – сколь угодно большое число, это обозначает, что lim 1/α (х) =∞, 1/α (х) –ББВ.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет 20.
-
Сумма конечного числа бмв и есть бмв. Разделим сколь угодно малое число е на м – бмв, тогда е/м также будет бмв и еще меньше чем е.
-
Произведение БМВ на ограниченную функцию, т.е. БМВ, т.е. α (х) –БМВ а u(x) –ограниченная функция |u(x)|≤M>0, то α(х)=u(x) – БМВ.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет 21.
Для того, чтобы переменная имела конечный предел необходимо и достаточно представить ее в виде суммы этого предела и некоторой БМВ, т.е. lim f(x) =A при х→хₒ(х→∞) ↔f(x)=A+α (x); lim Xn при х→∞ = A↔Xn=A+α
Док-во: а) необходимость: пусть lim f(x) =A, тогда по опр. Предела должно выполняться неравенство |f(x)-A|<E, а в свою очередь по опр. 2 БМВ, заключаю, что f(x)-A=α (x), о.с. что f(x) = A+α (x); б) достаточность: Пусть f(x) =A+α (x) → f(x) –A=α (x), |α (x)|<E →|f(x) – A)<E, lim f(x) = A, а по опр. Предела это отозначают f(x)=A.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------