Билет 22.

Предел суммы конечного числа переменных равен сумме пределовэтих переменных, т.е. lim [u₁(x)+u₂(x)+…+u_m(x)]=lim u₁(x)+ lim u₂(x)+…+ lim u_m(x)

Док-во: По теореме о структуре сходящейся переменной можно замещать u₁+u₂+…+u_m=a₁+a₂+…+a_m+α₁+α₂+…+α_m

Т.о. u₁+u₂+…+u_m=A+α(x) по теореме о структурном сходстве переменной. Это обозначает, что lim(u₁+u_2­+…+u_m)=A=a₁+a₂+…+a_m=lim u₁ + lim u₂ + …­­+ lim u­_m.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Билет 23.

Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных, т.е. lim (u₁*u₂*…*u_m)=lim u­₁*lim u₂*…*lim u_m.

Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. lim(c*u)=c*lim u, с – const

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Билет 24.

Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от 0, т.е. lim u(x)/v(x)=lim u(x)/ lim v(x), lim v(x)≠0.

Следствие: Предел степени = степени предела lim u(x)^v(x)=[lim u(x)]^{lim v(x)}.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 25.

Если u(x)≥0 при х→хₒ или х→∞, то предел lim u(x) при х→хₒ(х→∞) ≥0, аналогично если u(x)≤0, то и lim u(x) при х→хₒ(х→∞) ≤0.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 26.

Если при х→хₒ(х→∞) между соответствующими значениями двух переменных выполняется неравенство u(x)≥v(x), то и lim u(x) ≥lim v(x) и соответсвенно.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 27.

1. Сокращение на критический множитель для неопределенности (0/0).

2. Умножение на сопряженное выражение для неопределенности (∞/∞).

3. Деление на старшую степень многочлена на неопределенность (∞/∞).

• Старшая степень числителя < старшей степени знаменателя =0.

• Старшая степень числителя = старшей степени знаменателя = свобод. Член.

• Старшая степень числителя > старшей степени знаменателя =∞.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Билет 28.

Если при х→хₒ(х→∞) между соответствующими значениями трех функций выполняется неравенство:φ(x)≤f(x)≤ψ(x), limφ(x)=limψ(x)=A, то и lim f(x)=A.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 29.

Первый замечатеный предел  Lim sinx/х при х→0= 1

Этот предел представляет собой неопределенность (0/0). Из элементарной математики известно, что при малых Х>0 справедливо неравенство sin x<x<tg x, разделим это все на sin x и получим 1<x/sin x<1/cos х. Т.к. lim 1 = 1, lim 1/ cos x при х→0 = 1, то по теореме о сжатой переменной заключаем, что lim x/sin x при х→0 = 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 30.

ЧП (1+1/n) имеет конечный предел. Опуская доказательство запишем, что lim (1+1/n)ⁿ при N→∞ = e. e=2,71828…(где е – иррациональное число). Эта последовательность представляет собой неопределенность 1^∞.

Lim 1ⁿ при n→∞=1.

Второй замечательный предел  lim (1+1/х)^х при х→±∞

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 31.

Сравнить бмв значит найти предел их отношений:1)если lim a/B=0?то а назыв.бмв высшего порядка,чем В.это означает,что бмв а стремится к нулю быстрее чем бмв В.2)если lim a/B=∞? То а назыв. Бмв нисшего порядка чем В.в свою очередь В назыв.бмв высшего порядка чем а,т.к. lim B/a=0.3)если lim a/B=c≠0,где с-сщnst,то а и В назыв. Бмв одинакого порядка.в частновсти если с=1,т.е.lim a/B=1,то а и В назыв.эквивалентными бмв.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 32.

Для того чтобы бмв а и В были эквивалентными необходимо и достаточно чтобы их разность а-В была бмв высшего порядка чем любая из них,т.е. lim a-B/b=0.док-во:пусть a~B докажем что lim a-B/B=0.найдем lim a-B/B=lim a/B-1=1-1=0.по опр.значит что а-В есть бмв высшего порядка чем В.(2) а-В есть бмв высшего порядка чем В.докажем что а~B lim a-B/B=0=>lim a/b-1=0=>lim a/B=1=>a~B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 33.

Т.при вычислении предела отношений двух переменных их можно заменить на эквивалентные,т.е. если а~a* a B~B* то lim a/B=lim a*/B*.док-во: lim a/B=lim (a/a* B*/B a*/B*)=(по теореме о пределе произведения)=lim a/a* lim B*/B lim a*/B*=lim a*/B*.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 34.

В точке:1)Хо определена в точке Хо и в некоторой ее окрестности 2)бесконечно малому приращению аргумента. бмв при ^х->0 ведет и ^y->0 lim ^y=0 ^x->0 из определения следует lim f(x)=f(Xo); lim ^y=lim [f(x)-f(Xo)]const=lim f(x)-f(Xo)=0

На интервале: (а;в).если она непрерывна в каждой точке этого интервала.беометрически это означает что град. F представляет собой сплошную линию без скочков по размеру.

Точка разрыва ф. Хо.y=f(x),если она в этой точке является непрерывной точкой разрыва Хо называется точка разрыва первого рода,если она не определена в точке Хо,а ее левые и правые пределысуществуют и конечные Хо y=|x|/x Xo=0.найдем ее правые и левые пределы в этой точке lim |x|/x=lim -x/x=-1 lim |x|/x=lim x/x=1..в точке Хо=0 имеет разрыв 1го рода

Если ф. неопределена в точке Хо,а ее левые и правые пределы совпадают то такая точка разрыва 1го рода называется точкой устранимого(?) разрыва y=sinx/x Xo=0,lim sinx/x=1. Поэтому Хо=0 есть т. Устранимого разрыва.

Если 1 не определена в т. Хо,а ее левый и правый предел(или оба) несуществуют или бесконечны,то точка Хо называется точкой разрыва 2го рода.если один или оба предела бесконечны,то т. Разрыва второго рода называется т. Бесконечного разрыва.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 35.

1.если ф. f₁(x) f₂(x)..f_k(x)непрерывны в рассматриваемой точке или на интервале,то их сумма и произведенние также будет непрерыв.ф.в данной точке или на интервале.

2.если ф f₁(x) и f₂(x) непрерывны в точке Хо,то их частное f₁(x)/f₂(x) также будет непрерывно в точке Хо,если f₂(Xo) в точке Х_о не равно 0.

3.если ф. u=v(х) непрерывна в точке Хо то ф. у=f(u) будет непрерывна в точке Uo=v(Xo).

4.если ф. у=f(x) на некотором интервале (а;в) непрерывна и монотонна,то ее обратная ф. у=v(x) будет непрерывной на соответсв.интервале (с;d)

5.т.вейерштрасса о наиб. И наим. Значении непрерывн.ф.

Если ф. у=f(x) непрерывна на отрезке [а;в] ,то на этом отрезке она по крайней мере один раз принимает свое наим.и наиб. Знач.если ф. у=f(x) монотонна на отрезке [а;в],то наиб. И наим. Знач. Достигается на концах отрезка

6.т.больцано-коши о нулях ф.

Если ф. y=f(x) непрерывна на отрезке [а;в] и на его концах принимает значение разных знаков,то на интервале (а;в) найдется по крайней мере одна точка х=₴ в кот. Ф. обращается в 0,т.е. f(₴)=0

7.теорема о промежуточных значениях непрерывной ф.

Если ф. у=f(x) непрерывна на отрезке (а;в) то на интервале (а;в) она по крайней мере один раз достигает любого значения η заключенного между его наиб. И наим. Знач.ф.,т.е. на интервале (а;в) где f(₴)=η m≤η≤M