§1. Векторная функция

1.1. Доказать, что , где — постоянный вектор, тогда и только тогда когда для любого t  (t₀, t₁) выполнено условие

1.2. Доказать, что если для любого t  (t₀, t₁), то векторная функция перпендикулярна .

В задачах 1.3 — 1.5 найти производные по t от следующих функций:

1.3.  ;

1.4.  ;

1.5.  .

1.6. Доказать, что если удовлетворяет уравнению , где — постоянный вектор, то .

1.7. Выразить через и , если известно, что векторная функция удовлетворяет уравнению , где — постоянный вектор.

1.8. Доказать, что годографом векторной функции является эллипс, где и постоянные ненулевые векторы, причем .

1.9. Доказать, что годографом векторной функции где , , — постоянные векторы, причем , ≠ ,  , является парабола.

1.10. Доказать, что если и неколлинеарные постоянные векторы , то годографом векторной функции является гипербола.

§2. Понятие кривой. Огибающая однопараметрического семейства линий

2.1. Луч ОС равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью . По нему с постоянной скоростью h движется точка М. Составить уравнение траектории этой точки (спираль Архимеда).

2.2. Между двумя параллельными прямыми проведена окружность с радиусом R, касающаяся этих прямых в точках А и В. Из точки А выпущен луч, пересекающий окружность в точке С и вторую прямую в точке М. На луче АС отложен отрезок АК, причем |AK| = |CM|. Составить уравнение траектории точки К при вращении луча АС вокруг точки А (циссоида Диоклеса).

2.3. Луч ОС вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью . Точка М движется по лучу ОС со скоростью, пропорциональной пройденному пути |OM|. Составить уравнение траектории точки М (логарифмическая спираль).

2.4. Окружность с радиусом R катится без скольжения по прямой. Составить уравнение траектории точки М, лежащей на окружности (циклоида).

2.5. Составить параметрические уравнения траектории конца туго натянутой нерастяжимой нити, сматываемой с неподвижной круглой катушки с диаметром 2R.

2.6. Отрезок АВ длиной l скользит своими концами по осям прямоугольной системы координат Oxy. Из точки О опущен перпендикуляр ОМ к отрезку АВ. Составить уравнение траектории точки М (четырехлепестковая роза).

2.7. Отрезок АВ длиной l скользит своими концами по осям прямоугольной системы координат Oxy. Из вершины С прямоугольника АОВС опущен перпендикуляр СМ на диагональ АВ. Составить уравнение траектории точки М (астроида).

2.8. К окружности проведена касательная в точке D(0, 2R). Из начала координат проведен произвольный луч ОС, который пересекает окружность и касательную в точках А и В. Через эти точки проведены прямые, параллельные осям Ox и Oy соответственно, пересекающиеся в точке М. Составить уравнение геометрического места точек М (аньезиана).

2.9. Составить уравнение кривой  — множества точек касания прямых, проведенных из начала координат к окружности с радиусом R, центр которой перемещается по оси абсцисс (каппа).

В задачах 2.10 – 2.12 найти огибающие следующих семейств:

2.10. (x – C)² + y² = R²;

2.11. (x – C)² + (y – С)² = С²;

2.12. xcosC + ysinC = p.

2.13. Найти дискриминанту семейства полукубических парабол (x + C)² – (y + С)³ = 0. Существует ли огибающая у этого семейства?

2.14. Найти огибающую семейства прямых, образующих с координатными осями треугольники площадью 2h² = const.

2.15. Отрезок длиной l скользит своими концами по осям прямоугольной системы координат. Найти огибающую семейства прямых, содержащих этот отрезок.

2.16. Круговой цилиндр x² + y² = R² вращается вокруг собственной оси с постоянной угловой скоростью . По образующей цилиндра движется точка М с постоянной скоростью h. Составить параметрические уравнения траектории точки М (винтовая линия).

2.17. Луч ОС, исходящий из начала прямоугольной системы координат Oxyz и составляющий угол   (0,  /2) с осью Oz, равномерно вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью . Точка М движется по лучу ОС с постоянной скоростью h. Написать параметрические уравнения траектории точки М (коническая винтовая линия).

2.18. Сфера с радиусом R пересекается с поверхностью кругового цилиндра x² + y² –Rx = 0. Написать параметрические уравнения кривой пересечения (кривая Вивиани).

2.19. Составить параметрические уравнения кривой пересечения двух параболических цилиндров y² = x, x² = z.

2.20. Найти проекцию на плоскость Oyz кривой пересечения эллиптического параболоида y²+ z²= x и плоскости x – 4y + 2z = 4.

2.21. Записать уравнения кривой, по которой пересекаются однополостные гиперболоиды x² + y²– z² = 1, x² – y²+ z² = 1.