§3. Касательная кривой. Главная нормаль. Бинормаль. Нормальная плоскость. Соприкасающаяся плоскость. Спрямляющая плоскость.

В задачах 3.1 — 3.7 составить уравнение касательных к следующим кривым:

3.1. x = lcos3t, y = lsin3t в точке t =  ∕4 (астроида);

3.2. x = Rsintcos²t, y = Rsin²tcost (четырехлепестковая роза) в произвольной точке;

3.3. x³ = y²(2R – x) в точке А(R, R) (циссоида Диоклеса);

3.4. при t = 0;

3.5. x² + y² = a², z = a в точке ;

3.6. (винтовая линия) в произвольной точке;

3.7. y² = 2px, x – y – z = 0 в произвольной точке.

В задачах 3.8 — 3.9 найти нормальные плоскости следующих кривых::

3.8. в произвольной точке;

3.9. в точке .

3.10. Эволютой плоской кривой называется огибающая ее нормалей. Найти эволюту эллипса, заданного параметрическими уравнениями x = acost, y = bsint.

3.11. Найти эволюту параболы y² = 2px.

3.12. Найти касательную к параболе y² = 2x, ортогональную прямой 2x + y + 4 = 0.

3.13. Найти пары точек, в которых касательные к циклоиде x = R(t - sint), y = R(1 – cost) взаимно перпендикулярны.

3.14. Найти касательную к кривой , параллельную плоскости 6x + 2y + 2z - 1 = 0.

3.15. Какая кривая получится в пересечении касательных кривой с плоскостью Oxy?

3.16. Для кривой y² = x, x² = z написать уравнение соприкасающейся плоскости, проходящей через точку (–1, 0, –3).

3.17. Найти угол, образованный осью Oz и нормальной плоскостью к кривой x = a(t – sint), y = a(1 – cost), z = 4a sin(t/2) в точке t =  /2.

3.18. Найти главную нормаль кривой x = cost, y = sint, z = t, параллельную плоскости x – y + 3z – 1 = 0.

3.19. Через точку М(0, 2, 2) провести спрямляющую плоскость для кривой x = t², y = 1 + t, z = 2t.

3.20. Доказать, что кривая пересекает образующие конуса x² + y² = z² под углом  /4.

3.21. Доказать, что главная нормаль винтовой линии x = acost, y = asint, z = ht пересекает ее ось под прямым углом, а бинормаль образует с ней постоянный угол.

3.22. Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой x = t, y = t²/2, z = t³/3, проходящей через точку А(0, 0, 9).

3.23. Найти уравнения нормальных плоскостей кривой x² = y, x³ = z, проходящих через точку М(0, 3, 0).

3.24. Через точку А(1, 2, 1) провести плоскость, пересекающую кривую y = x², x + z = 0 под прямым углом.

3.25. Через точку А(1, 0, 1) провести соприкасающуюся плоскость кривой x = t, y = 2t, z = t².

3.26. Через точку провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой x = t², y = 1 + t, z = 2t.

§4. Длина дуги. Натуральный параметр. Кривизна и кручение. Натуральные уравнения кривой

4.1. Найти длину дуги кривой от точки пересечения с плоскостью z = 0 до произвольной точки.

4.2. Найти длину дуги кривой x = a(t – sint), y = a(1 – cost), z = 4acos( ), t  [0, 2].

4.3. Найти длину дуги кривой 3a²x = y³, 2yz = a², отсекаемую плоскостями x = a /3, x = 9a.

4.4. Доказать, что кривизна и кручение винтовой линии связаны соотношением При каком значении h кручение максимально?

4.5. Найти кривизну конической винтовой линии x = tcost, y = tsint, z = ht в начале координат.

4.6. Доказать, что кривая x = 1 + 2t + t², y = 2 – 5t + t², z = 1 + t² — плоская и найти уравнение плоскости, в которой лежит эта кривая.

4.7. Найти кривизну и кручение кривой x = a(t – sint), y = a(1 – cost), z = 4acos( ) в точке t =  /2.

4.8. Найти кривизну и кручение кривой , в произвольной точке.

4.9. Ввести естественную параметризацию винтовой линии x = acost, y = asint, z = ht.

4.10. Найти натуральные уравнения кривой .

4.11. Доказать, что обе кривые ₁: x = a cht, y = a sht, z = at и ₂: x = ct, y = , z =  являются гиперболическими винтовыми линиями.

4.12. Найти выражение кривизны плоской кривой, заданной уравнением в полярных координатах.

4.13. Найти кривизну спирали Архимеда, заданной уравнением .

4.14. Найти натуральные уравнения кривой .

4.15. Найти кривизну кривой, заданной уравнениями в неявном виде в точке А(1, 1, 1).