Задача 2. 0 анализ линейных цепей при несинусоидальных токах

 Пояснения к исходным данным

1. Графики несинусоидальных кривых в задании изображены в конкретном масштабе, т.е. из них непосредственно определяются ве­личины постоянной составляющей и доли периода, приходящиеся на временные промежутки.

2. Сопротивления амперметров принимаются равными нулю, а вольтметров - равными бесконечности.

3. Все приборы показывают действующие значения.

Рассмотрим пример расчета.

2Разложение в ряд Фурье

Пусть на вход цепи поступает напряжение, изображенное на рис.2.1.

Рис.2.1. Входное напряжение

Стандартная кривая, разложение которой в ряд Фурье приведено в справочнике, имеет вид, показанный на рис.2.2.

Рис.2.2. Стандартная кривая

Сравнивая рис.2.1 и 2.2, получаем

1. Входное напряжение

U₀=100 В; a_max=100 В;

2. Кроме того U(t) имеет начальный (отрицательный) сдвиг по срав­нению с фазой U_ст(t)

Δφ=-90

Стандартная кривая имеет разложение 2,3

(2.1)

Дополнительные фазовые сдвиги по гармоникам

Δφ₁=-90; Δφ₂ =-270; Δφ₃=-450 и т.д.

Из рис.2.1 и 2.2 имеем

С учетом того, что

cos(γ±90)= - +sin(γ) cos(γ±270)=±sin(γ)

После подстановок в (2.1) и преобразований получаем

U_ВХ(t)=100+63.7*sin(*t) – 42.4*sin(3**t)+12.7*sin(5**t)+9.1*sin(7**t) (2.2)

 2. Построение кривой входного напряжения

С учетом трех составляющих имеем

U_ВХ(t)=100+63.7*sin(*t) – 42.4*sin(3**t) (2.3)

Построение удобно проводить графически, сложив графики двух сину­соид, но можно и аналитически. Для этого удобно переписать (2.3)

в виде U_ВХ(t)=100+63.7*sinγ₁(t) –42.4*sinγ₃(t) где γ₁(t)=*t γ₃(t)=3**t=3*γ₁(t) (2.4)

При построении кривой по 12 точкам имеем: Δγ^*₁=T/12=30 – приращение γ₁ Δγ^*₃=90 – приращение γ₃

Результаты расчетов сведены в табл.2.1 и представлены на рис.2.3

Таблица 2.1

Номер точки		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1 гармо-ника	1, град	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360
	U1(1), В	0	31,9	55,2	63,7	55,2	31,9	0	-31,9	-55,2	-63,7	-55,2	-31,9	0
3 гармо-ника	3, град	0	90	180	270	360	450	540	630	720	810	900	990	1080
	U3(3), В	0	-42,4	0	42,4	0	-42,4	0	42,4	0	-42,4	0	42,4	0
U0+U1(1)+U3(3)		100	89,4	155	206	155	89	100	111	44,8	-6,1	44,8	111	100

Рис.2.3. Построение кривой напряжения