Задание 2. Расчет фермы с треугольной решёткой

аналитическим и графическим способами

Определить реакции опор фермы на заданную нагрузку, а также продольные усилия во всех ее стержнях аналитическим и графическим способами. Необходимые для расчета данные указаны в табл. 1.

Таблица 1

№ варианта	Номер схемы (рис. 1,2)	Вариант загружения (табл. 2)	P, кН	h	№ варианта	Номер схемы (рис. 1,2)	Вариант загружения (табл. 2)	P, кН	h
1	14	7	2	0,5a	16	15	9	2	1,5a
2	11	9	4	1,2a	17	1	3	10	0,5a
3	15	10	6	a	18	8	4	8	1,2a
4	4	6	5	1,8a	19	9	2	10	1,8a
5	1	4	2	0,5a	20	14	8	5	2a
6	8	3	5	2,4a	21	6	2	7	2,4a
7	5	6	3	2a	22	2	3	9	a
8	10	1	7	0,6a	23	12	10	8	1,5a
9	7	4	2	a	24	9	5	2	1,8a
10	5	1	5	1,5a	25	7	3	5	2a
11	6	5	8	1,8a	26	10	6	2	2,4a
12	13	7	2	2,4a	27	3	5	4	0,5a
13	3	2	2	0,5a	28	13	10	3	0,6a
14	2	4	5	a	29	11	7	2	1,2a
15	4	1	10	0,6a	30	12	8	4	2a

Рис. 1

Рис. 2

Таблица 2

Вариант загружения	Узлы приложения нагрузки	Направление нагрузки	Значение нагрузки	Вариант загружения	Узлы приложения нагрузки	Направление нагрузки	Значение нагрузки
нагружение для схем 1-10 (см. рис. 1)				нагружение для схем 11-15 (см. рис. 2)
1	2, 4, 6			7	4, 6, 8
	1, 8				2, 10
2	3, 5, 7			8	3, 5, 7
	1, 8				2, 10
3	3, 4, 7			9	3, 6, 7
	1, 8				2, 10
4	2, 5, 6			10	4, 5, 8
	1, 8				2, 10
5	2
	6
	5
	1, 8
6	2
	6
	3, 7
	1, 8

Пример выполнения задания. Дано: расчетная схема фермы (рис. 3); кН.

Выполнить расчет фермы с треугольной решеткой аналитическим и графическим способами.

Рис. 3

Решение

Особенностью расчетной схемы типа ферма (рис. 3) является наличие в сечениях ее стержней только продольных усилий, что обеспе­чивается как способом приложения нагрузки (сосредоточенные силы в узлах-шарнирах), так и способом соединения стержней фермы в узлах расчетной схемы – безмоментными шарнирами.

1. Проведение количественного кинематического анализа.

Для проведения кинематического анализа необходимо заменить опорные связи их шарнирно-стержневым аналогом и обозначить эти сечения (рис. 4).

Рис. 4

Степень статической неопределимости расчетной схемы типа ферма определяется по формуле:

,

• число узлов фермы: ;

• число стержней фермы: ;

• число опорных стержней: .

Имеем,

ЗРС статически определима.

2. Определение опорных реакций.

На рис. 5 вводится система координат, оси которой определя­ют правило знаков для реактивных сил, заменяющих действие на конструкцию опорных связей. Реакции до их определения считаются положительно на­правленными, а их обозначения следует увязывать с обозначением оси, вдоль которой действует реакция, и узлом, в котором она определяется.

Рис. 5

При выборе уравнений равновесия для определения реакций опорных связей необходимо подобрать такие уравнения, из которых однозначно бы определялась только одна из реакций и, таким образом, не учитывалось бы влияние двух других реакций. Это позволит нам исключить взаимовлияние получаемых результатов.

:

: .

: .

Итак, реакции опорных связей определены, что позволяет указать на расчетной схеме все нагрузки в явном виде («в значениях»), как это сделано на рис. 6.

Рис. 6

Данные рис. 6 используются для проведения контроля правильности определения реакций опорных связей по уравнению

.

3. Определение продольных усилий в стержнях фермы аналитическим способом.

Для определения усилий растяжения-сжатия в плоских фермах с простой треугольной решеткой применяются метод сквозных сечений и метод вырезания узлов.

При использовании метода сквозных сечений расчетную схему расчленяют на две части, таким образом, чтобы число неизвестных усилий в сечении было не более двух. При этом каждое усилие должно определяться из отдельного уравнения равновесия и не должно выражаться через усилия в других стержнях.

При использовании метода вырезания узлов усилия в стержнях, сходящихся в рассматриваемом узле, определяют из уравнений равновесия в проекциях сил на оси X и Y глобальной системы координат.

Укажем виды сечений, порядок их следования (рис. 8), чтобы иметь возможность соста­вить уравнения, необходимые для определения усилий в стер­жнях, попавших в соответствующее сечение последовательности.

Уравнение в проекциях сил рекомендуется применять тогда, когда нельзя составить уравнение в моментах.

Уравнение в моментах требует вычисления расстояния от точки приведения до линии действия усилия, а уравнение в проекциях сил – вычисления значений тригонометрических функций угла между осями стержней.

Так как заданная расчетная схема является симметричной по нагрузке (узловая нагрузка, реактивные силы) и очертанию решетки, то достаточно определить усилия в стержнях половины фермы, так как усилия в стержнях другой половины будут такими же.

Для удобства дальнейших вычислений предварительно найдем высоту стойки 3–4 ( ) и расстояние от узла 2 ( ) до нижнего пояса фермы, используя подобие треугольников (см. рис. 7), и покажем их на расчетной схеме (рис. 8).

;

Рис. 7

Располагая системой нагрузок «в значениях», системой сечений, основными размерами расчетной схемы (см. рис. 8), можно приступать к непосредственному определению продольных уси­лий в стержнях заданной фермы (рис. 9-13).

Рис. 8

Важно отметить, что неизвестные усилия на рисунке отсеченной части расчетной схемы считаются положительными (действуют «от узла»), а их истинный («инженерный») знак устанавливает­ся решением соответствующего уравнения.

Рис. 9	где (растяжение); (сжатие)
Рис. 10	где (растяжение); где (сжатие)
Рис. 11	(сжатие); (сжатие)
Рис. 12		где (растяжение); где , (растяжение)
Рис. 13	где (сжатие)

Решение задачи об определении продольных усилий в ферме пред­ставлено в табл. 3.

Таблица 3

Номер стержня	1–2	1–3	2–3	2–4	3–4	3–5	4–5	4–6	6–5
	9–10	7–10	7–9	8–9	7–8	5–7	5–8	6–8
Знак усилия	+	–	–	+	–	–	+	+	–
Усилие , P	1,118	1	1,118	2,237	2,5	2	1,414	1,118	2