Введение

Учебная дисциплина «Математические методы в инженерных задачах» основной своей задачей закрепление фундаментальных знаний, полученных при изучении курса «Высшая математика». К сожалению, преподаватели математики имеют слабые познания в области профессиональной деятельности обучаемых и не могут обосновать необходимость изучения отдельных разделов вузовского курса «Высшей математики».Для этого в учебный план и введена дисциплина, доказывающая необходимость специальной математической подготовки студентовна прикладных задачах из сферы профессиональной деятельности.

Лабораторные работы и расчётное задание по курсу «Математические методы в инженерных задачах» необходимы для развития практических навыков решения задач с использованием компьютерной техники.

По каждой работе приводятся общие сведения о задании, основной теоретический материал, состав отчёта по работе и контрольные вопросы.

1 Расчёт параметров нелинейной электрической цепи

Исходными данными для выполнения работы являются:

• схема цепи постоянного тока, включающей нелинейное сопротивление;

• сведения об источнике энергии (Е) и сопротивлениях цепи.

Необходимо:

• найти токи во всех элементах цепи;

• найти падения напряжений на всех элементах цепи;

• найти заданную зависимость напряжения в одном из элементов от тока в другом. Описать эту зависимость в табличном и графическом виде;

• обеспечить требуемое значение тока на элементе при изменении параметров (сопротивления) линейных элементов или доказать невозможность обеспечения такого значения.

1.1 Описание состояния электрической цепи с помощью законов Ома и Кирхгофа

Основными законами электротехники, позволяющими описывать состояние линейной электрической цепи, являются законы Ома и Кирхгофа.

Применительно к электрическим цепям закон Ома имеет две разновидности:

– закон Ома для участка электрической цепи;

– закон Ома для всей электрической цепи.

Закон Ома для участка электрической цепи формулируется следующим образом: «Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к участку, и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению этого участка».Аналитически это утверждение записывается с помощью следующего выражения:

, (1)

где I – сила тока в однородном участке цепи, А;

U– напряжение, приложенное к участку, В;

R – электрическое сопротивление участка, Ом.

Схема участка электрической цепи представлена на рисунке 1, а.

Рисунок 1 – Схематическое представление участка (а) и полной электрической цепи (б).

Для всей электрической цепи закон Ома с учётом схемы, приведённой на рисунке 1, б, имеет вид:

, (2)

где I – сила тока в цепи, А;

Е–электродвижущая сила (ЭДС) источника напряжения, В;

R – электрическое сопротивление всех внешних элементов цепи, Ом;

r – внутреннее электрическое сопротивление источника напряжения, Ом.

Простота закона Ома позволяет применять его для расчёта гидравлических, пневматических, магнитных, электрических, световых, тепловых потоков и т.д.

Как уже было сказано, помимо закона Ома в электротехнике используются два закона Кирхгофа. Для их формулирования в цепи выделяются:

– узлы – точки соединения трёх и более ветвей;

– контуры – замкнутые пути из проводников.

Важным условием является связь одной ветви только с двумя узлами (ветвь имеет два конца). В свою очередь ветвь может входить в несколько контуров.

Первый закон (закон токов Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма токов в любом узле любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком). Аналитически этот закон записывается в виде следующей формулы:

, (3)

г де I_j – сила тока в j-й ветви, А;

j– условный номер ветви;

n – число ветвей, имеющих соединение с узлом.

Поясним этот закон на примере. Пусть имеется узел а, с которым соединяются 8 ветвей (рисунок 2).ТокиI₁, I₂, I₆, I₇, втекаютвузела, атокиI₃, I₄, I₅, I₈ вытекают из него. Для составления уравнения допустим, что втекающие в узел токи положительны, а вытекающие – отрицательны. В результате закон токов Кирхгофа запишется следующим образом:

I₁+I₂–I₃–I₄–I₅+I₆+I₇–I₈=0.

Второйзакон(закон напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура.Аналитически в случае постоянного тока этот закон можно записать следующим образом:

(4)

где i – номер ветви.

Проиллюстрируем этот закон на примере. Пусть имеется контур, состоящий из пяти ветвей (рисунок 3).Выберем положительное направление обхода контура по направлению движения часовой стрелки.

Рисунок 3 – Участок цепи для иллюстрации закона напряжений Кирхгофа.

Запись закона может быть получена путём последовательного сопоставления направлений ЭДС и токов ветвей с положительным направлением обхода контура. Если направления совпадают, то ЭДС или ток ветви записывается с положительным знаком, а если направления противоположны – с отрицательным.

Обход контура начнём с узла а. В результате закон напряжений Кирхгофа запишется следующим образом:

.

На практике встречаются случаи, когда в контуре может не быть ЭДС, т.е. алгебраическая сумма ЭДС ветвей контура равна нулю. По закону напряжений Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжений по замкнутому контуру в таких случаях должна быть равна нулю.