Контрольні питання.

1. Вказати необхідні та достатні умови мінімуму функції однієї змінної.

Метод пошуку з використанням чисел Фібоначчі

Для організації оптимального пошуку екстремуму можна використовувати ряд чисел Фібоначчі, властивості якого описуються рекурентним співвідношенням

F _k =F_k-1 + F_k-2 (1.6)

де F₀=F₁=1.

Для оцінки точності визначення екстремуму при заданому числі розрахунків в значень функції f(x), які визначаються на інтервалі [а, b], використовують формулу

(1.7)

де F_s - s-е число Фібоначчі.

Порядок виконання алгоритму пошуку мінімуму, який використовує числа Фібоначчі, складається з наступних етапів.

Крок 1. По заданій точності , з якою необхідно знайти положення екстремуму функції F(x) в інтервалі [а, b], розрахувати допоміжне число

(1.8)

Для отримання значення N знайти таке число Фібоначчі F_s, щоб виконувалась нерівність F_s-1 < N < F_s.

Крок 2. Визначити крок пошуку за формулою

(1.9)

Крок 3. Розрахувати значення функції F(x) на початку інтервалу, тобто F(a).

Крок 4. Знайти наступну точку, в якій обчислюється значення F(x), за формулою

x⁽¹⁾ = a+ F_s-2 (1.10)

Якщо цей крок вийшов вдалим, тобто F(x⁽¹⁾)< F(a), то наступна точка визначається за формулою

x⁽²⁾ = x⁽¹⁾ + F_s-3 (1.11)

При F(x⁽¹⁾)>F(a)

x⁽²⁾ = x⁽¹⁾ - F_s-3 (1.12)

Крок 5. Наступні кроки виконуються з зменшуваною величний кроку, яка для i-го кроку

x⁽ⁱ⁾ = F_s-i-2

Процес продовжується до тих пір, доки не будуть вичерпані всі числа Фібоначчі у зменшуваній послідовності:

F_s-i-2= F_s-i – F_s-i-1, i=0, 1, 2.

Показано, що алгоритм пошуку з використанням чисел Фібоначчі в границі при s ∞, тобто при пошуку з високою точністю, співпадає з методом золотого перерізу, так як відношення F_s-1/F_s прямує до значення 1-z, де z = .

Завдання.

Знайти екстремальні точки наступних функцій методом пошуку, який використовує числа Фібоначчі:

а) f(Х) =х³ +х, -2≤х≤2;

б) f(Х) = х⁴ +х ², -1≤х≤1;

в) f(Х) = 4х⁴+х²+5, 0≤ х≤2;

г) f(Х) =(3х-2)²(2х-3)², -1 ≤ x ≤ 1;

д) f(Х) = 6х⁵+4х³+10, 0 ≤ х ≤1.

Завдання для самостійної роботи.

У структурі капітальних вкладів на розвиток хімічного заводу важливе Місце займають витрати на придбання і монтаж труб, а також витрати на Встановлення насосного обладнання. Розглянемо проект трубопроводу довжиною L(м), який повинен забезпечувати подачу рідини зі швидкістю Q (м³/хв). Вибір найбільш економного діаметра труби D (м) здійснюється за рахунок мінімізації функції затрат на придбання труб, насосів та прокачування рідини. Відомо, що функція витрат в одиницю часу у випадку, коли трубопровід складається з труб, виготовлених з вуглецевої сталі, і центрострімкого насосу з електродвигуном, може бути описана виразом

f(Х) =0,45L+0,245LD^1,5+325(hp)^0,5+61,6(hp)^0,925102,

де hp=4,4 +1,92

Сформулювати відповідну задачу оптимізації з однією змінною для проектування трубопроводу довжиною 300 м, який повинен забезпечити подання рідини зі швидкістю 0,1 (м³/хв). Діаметр труби має бути в межах 0,6 10^-2…0,2 м. Вирішити цю задачу за допомогою методу пошуку з використанням чисел Фібоначчі.