2.4. Биения

Явление биений могут проявляться в нескольких случаях.

Рассмотрим три случая возникновения биений:

частота вынужденных колебаний _в весьма мало отличается от частоты собственных колебаний, вязкое демпфирование в системе отсутствует;

частота вынужденных колебаний _в приблизительно равна частоте затухающих колебаний _з, и наличия малого вязкого демпфирования в системе;

в нешняя сила, вызывающая вынужденные колебания состоит из двух слагаемых с частотами _в1 и _в2 весьма близкими друг к другу.

Случай 1. _в ≈ _с; h = 0. Исходя из этого, полагаем, что колебания происходят в области, весьма близкой к резонансу.

М ожно принять, что

_в+_с ≈ 2_с; _в/_с ≈ 1;

_с² – _в² = (_с+_в)(_с–_в) ≈ 2_с(_с– _в). (2.66)

Если принять для случая резонанса начальные условия при t = 0; S₀ = 0; Ś₀ = 0 то произвольные постоянные С₁ и С₂ будут равны

Подставляя данные значения в (2.49), получим

или

Подставляя из (2.66) в (2.67), получим

или

Данное уравнение описывает колебания системы в случае биений. Амплитуда при биениях равна

Исходя из последнего выражения следует, что амплитуда изменяется во времени. Период изменения равен

Период вынужденных колебаний

Так как _в ≈ _с, то Т_б >> Т_в. Графически такие колебания показаны на рис. 2.25.

Случай 2. _в ≈ _з = (_с² – ² )^½; при этом  < _с.

Учитывая затухающие колебания и полагая  = 0, решение уравнения (2.58) будет

s = e^–·t(C₁ cos_зt + C₂ sin_зt) + S_в sin_вt,

где S_в исходя из (2.59) и подстановки в него (2.66) получим

Постоянные С₁ и С₂ при начальных условиях t = 0; S₀ = 0; Ś₀ = 0 имеют значения:

С₁ = 0; С₂ = – (S_в _в)/_з ≈ – S_в.

Следовательно,

s = S_в(sin_вt – e^–·tsin_зt).

Преобразуем данное уравнение к другому виду

s = S_в(1– e^–·t)sin_вt + 2S_в e^–·tsin[(_в–_з)·t/2] cos_вt. (2.69)

В последнем выражении первый член определяет незатухающие вынужденные колебания системы, второй – затухающие колебания биений с амплитудой

и периодом Т_в = 2/_в.

Период изменения амплитуды биений S_вА(t)

Т_б = 4/(_в – _з) >> Т_в.

Таким образом, в реальных системах где  ≠ 0 колебания биений, вызываемые возмущающей силой, с частотой, близкой к частоте затухающих колебаний, быстро затухают. С практической точки зрения учет биений в этом случае возможен только в начале движения системы, т.е. в переходный период, когда наблюдается неустановившееся состояние колебаний. При установившемся режиме, который наступает тем быстрее, чем больше сопротивление e^–·t → 0, из (2.69) получим уравнение установившихся колебаний

s = S_вsin_вt = S_вsin_зt.

Случай 3. В реальных системах могут происходить незатухающие биения при наличии возмущающей силы, состоящей из нескольких слагающих с частотами _в1 и _в2 весьма близкими друг к другу.

Уравнение вынужденных колебаний системы в этом случае имеет вид

s = S_в1sin(_в1t+₁) + S_в2sin(_в2t+₂), (2.70)

где ₁ и ₂ – начальные сдвиги фаз колебаний.