2.2. Свободные гармонические колебания

Свободные движения колебательной системы возникают при отсутствии внешнего воздействия только вследствие начального возмущения, т.е. выведения системы из состояния покоя.

2.2.1. Свободные колебания консервативной системы (без затухания)

Рассмотрим систему, состоящую из массы m подвешенной на пружине жесткостью c (рис. 2.10).

Будем считать, что пружина не обладает массой, а только жесткостью. Пренебрегаем сопротивлением среды, в которой движется тело m, а также сопротивлением внутреннего трения материала пружины. Тело m можно рассматривать как материальную точку.

Как только груз подвешен к пружине, пружина растягивается на величину _ст = P/c. Для винтовой цилиндрической пружины жесткость рассчитывается по формуле

c = G d⁴/(8nD³), (2.28)

где G – модуль сдвига [Н/м²]; d – диаметр проволоки [м]; n – число витков; D – диаметр пружины [м].

Единица измерения жесткости в системе СИ – Н/м.

Выберем начало координат в положении статического равновесия системы.

Выведем систему из состояния статического равновесия, отклонив тело на величину s, и мгновенно уберем связь, при этом возникнут колебания. Такие колебания, которые поддерживаются только упругими силами пружины, называются свободными или собственными. При растяжении пружины в ней возникает внутренняя сила упругой реакции F_упр, приложенная к телу

F_упр = – c (_ст + s). (2.29)

Сила упругости c·s стремится возвратить точку m в положение статического равновесия. Эта сила называется восстанавливающей силой. В соответствии со вторым законом Ньютона и учитывая восстанавливающую силу, получим

И ли

Т ак как _ст = P/c, то окончательно получим

Из сравнения выражений (2.30) и (2.31) следует, что сила тяжести тела не оказывает влияния на колебательный процесс, и в дальнейшем её не учитываем.

Разделим выражение (2.31) на m, и, вводя обозначения ω_c² = c/m, получим

где ω_c – круговая частота собственных колебаний, измеряемая в рад/с.

Периодом колебаний Т (время в секундах) называется величина обратная круговой частоте ω_c

Т = 2π/ω_c = 2π / (c/m) ^½.

Частота собственных колебаний в Гц

f = 1/T = ω_c/2π = (c/m)^½/2π. [Гц]

Из определения частоты собственных колебаний следует, что она зависит от величины массы тела m и жесткости пружины c и не зависит от величины перемещения, т.е. от начальных условий.

На рис. 2.11 показаны некоторые случаи образования упругого подвеса несколькими пружинами.

Общий коэффициент жесткости подвеса для схем с последовательным соединением пружин (рис. 2.11, а), найдем исходя из следующих положений. Каждая пружина нагружена одним и тем же весом и удлинение каждой в отдельности пружины равно ₁mg/c₁ и ₂mg/c₂. Полное статическое перемещение груза составит

_ст = ₁+₂ = mg/c₁+mg/c₂ = mg (1/c₁+1/c₂) = mg [ c₁·c₂ (c₁+c₂)].

По определению жесткость пружины для эквивалентной системы равняется c = mg / _ст, тогда

c = c₁·c₂/(c₁+c₂). (2.33)

При параллельном соединении пружин (рис. 2.11, а и б) исходим из того, что каждая пружина должна изменять свою длину на одинаковую величину. В результате чего имеем

_ст = ₁ = ₂ = mg/c.

Вес распределен по пружинам как mg = F_упр1 + F_упр2. Восстанавливающие силы в пружинах 1 и 2 соответственно равны: F_упр1 = c₁_ст; F_упр2 = c₂_ст. И также mg = c_ст. Следовательно

c_ст = c₁_ст + c₂_ст.

Окончательно эквивалентная жесткость параллельно соединенных пружин равна сумме их жесткостей

c = c₁ + c₂. (2.34)

Эквивалентную жесткость для системы пружин смешанного типа (последовательно-параллельного), изображенной на рис. 2.11, г, находят с помощью формул (2.33) и (2.34). Сначала вычисляют для пружин жесткостью c₁ и c₂ их эквивалентную жесткость c_1эк по формуле (2.33), также для второй пары пружин c₃ и c₄ – c_2эк. Затем через найденные значения c_1эк и c_2эк по формуле (2.34) находят эквивалентную жесткость всей системы.

Общее решение уравнения (2.32) можно записать в общем виде

s = C₁ cos_ct + C₂ sin_ct, (2.35)

где C₁ и C₂ – постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования находят из начальных условий. В начальный момент времени (t = 0) тело имеет перемещение (s(0) = S_c0) от положения равновесия, а начальная скорость равна ś(0) = 0.

Из уравнения (2.35) получим

s_t=0 = S_c0 = C₁ cos + C₂ sin= C₁; C₁ = S_c0.

Первая производная от выражения (2.35) равна

ś _t=0 = - _c C₁ sin + _c C₂ cos; C₂ = 0.

Таким образом, (2.33) преобразуется к виду

s = S_c0 cos_ct. (2.36)

П оследнее уравнение выражает простое гармоническое колебательное движение, в котором S_c0 является амплитудой цикла. Графически эта зависимость представляет косинусоиду (рис. 2.12).