- •Часть 1. Основные алгоритмы
- •Введение
- •Предмет компьютерной графики
- •Основные понятия Векторные и растровые графические системы.
- •Программистская модель компьютерной графики
- •Координатные системы компьютерной графики
- •Геометрические преобразования Двумерные преобразования
- •Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований
- •Трехмерные матричные преобразования
- •Вопросы эффективности вычислений
- •Пример композиции трехмерных преобразований
- •Проецирование
- •Виды параллельных проекций
- •Центральные (перспективные) проекции
- •Геометрические модели трехмерных объектов
- •Полигональные сетки
- •Параметрические кубические кривые
- •Параметрические бикубические поверхности
- •Преобразования параметрических кривых и поверхностей
- •Основные растровые алгоритмы
Трехмерные матричные преобразования
Подобно тому, как двумерные преобразования описываются матрицами размером 33, трехмерные преобразования могут быть представлены матрицами размером 44. Тогда трехмерная точка (x, y, z) записывается в однородных координатах как (Wx,Wy,Wz,W), где W 0. Для получения декартовых координат надо первые три однородные координаты разделить на W. Два однородных вектора описывают одну декартову точку в трехмерном пространстве, если H1 = c H2, где c = const 0 и H , H2 - векторы, записанные в однородных координатах.
Матрицы преобразований будем записывать в правосторонней системе координат (см. рис. 10).
При этом положительный поворот определяется следующим образом. Если смотреть из положительной части оси вращения (например, оси ) в направлении начала координат, то поворот на 900 против часовой стрелки будет переводить одну положительную полуось в другую (ось x в y, y в z, z в x в соответствии с правилом циклической перестановки).
Заметим, что на практике во многих приложениях компьютерной графики удобнее применять левостороннюю экранную систему координат (см. рис. 11), в которой ось x направлена вправо, ось y – вверх, а ось z вглубь экрана. В этом случае удобнее интерпретировать тот факт, что точки с большими значениями находятся дальше от наблюдателя.
Запишем теперь матрицу трехмерного переноса, по аналогии с двумерным случаем:
, (13)
при этом
.
Операция масштабирования:
, (14)
Перейдем к операции поворота. C ней в трехмерном случае придется разбираться чуть больше, чем в двумерном. Так как при двумерном повороте в плоскости xy координаты z остаются неизменными, то поворот вокруг оси z записывается так:
. (15)
Матрицы поворота вокруг оси x и вокруг оси y имеют вид:
, . (16)
: . (17)
Обратите внимание на смену положения синуса угла с отрицательным знаком в матрице поворота вокруг оси y. Правильность этих матриц легко проверить поворотом одного из ортов на 900, при этом он должен перейти в следующий по порядку орт на соответствующей координатной оси.
Обратные преобразования будут выражаться матрицами, обратными к показанным выше. Для операции переноса надо лишь заменить знаки компонент вектора переноса на противоположные:
;. (18)
для операции масштабирования – на обратные значения:
;. (19)
для поворота – выбором отрицательного угла поворота:
.. (20)
Результатом нескольких последовательных поворотов будет матрица вида
. (21).
Здесь верхняя матрица размером 33 называется ортогональной. Столбцы ортогональной матрицы – это единичные вектора, в которые преобразуются орты координатных осей в результате поворотов. Важным ее свойством является то, что обратная к ней матрица является транспонированной: . Это полезно тем, что при вычислениях достаточно поменять индексы местами и обратное преобразование получается автоматически.
После перемножения любого числа матриц вида T,S и R результирующая матрица всегда будет иметь вид:
. (22)
Здесь верхняя часть размером 33 определяет суммарный поворот и масштабирование, а три коэффициента последней строки – суммарный перенос.
Преобразование одной точки выполняется с помощью следующих действий
(23)
Таким образом, для преобразования одной трехмерной точки потребуется уже 9 умножений и 9 сложений.