Результатом вычитания, как и в случае отрицания, становится размерность множества, а не значения его координат.

3.1.2 Операции над нечёткими отношениями

Пусть А – нечёткое множество с элементами из универсального множества X и множеством принадлежностей M=[0, 1]. Тогда носителем (суппортом) нечёткого множества suppA называется множество .

Таким образом, если на конечном множестве X={x₁, x₂, x₃} задано нечёткое отношение R с функцией принадлежности:

,

носителем отношения R будет отношение, матрица функции принадлежности которого принимает следующий вид:

.

Множеством уровня α нечёткого отношения R на множестве X называется подмножество декартова произведения , которое имеет следующий вид:

.

Таким образом, множеством уровня =0,5 отношения R будет отношение, матрица функции принадлежности которого принимает следующий вид:

.

Для нечётких отношений вводятся операции произведения (композиции):

Максиминным произведением (максиминной композицией) нечётких отношений А и В на множестве X является нечёткое отношение А◦В с функцией принадлежности, имеющей следующий вид:

.

Пусть функции принадлежности нечётких отношений А и В на множестве Х имеют следующие числовые значения:

и .

Функция принадлежности максиминной композиции данных нечётких отношений имеет вид:

.

Необходимо вычислить значения матрицы a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂.

1. Для нахождения значения элемента a₁₁ попарно сравниваются значения элементов первой строки матрицы с элементами первого столбца матрицы , выбирается наименьшее значение. Далее из полученной совокупности минимальных значений окончательно выбираем наибольшее. Эта величина представляет собой искомое значение элемента a₁₁.

.

2. Для нахождения значения элемента a₁₂ попарно сравниваются значения элементов первой строки матрицы с элементами второго столбца матрицы , выбирается максимальное из минимальных:

.

3. Значения элементов a₂₁ и a₂₂ находятся аналогичным образом:

,

.

Таким образом, .

Максмультипликативным произведением (максмультипликативной композицией) нечётких отношений А и В на множестве X является нечёткое отношение с функцией принадлежности, которая имеет следующий вид:

.

Пусть функции принадлежности нечётких отношений заданы числовыми значениями, представленными ранее. Необходимо также вычислить значения матрицы a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂.

1. Для нахождения значения элемента a₁₁ необходимо вычислить произведения соответствующих элементов первой строки матрицы и элементов первого столбца матрицы , выбрать наибольшее значение. Эта величина представляет собой искомое значение элемента a₁₁:

.

2. Для нахождения значения элемента a₁₂ необходимо вычислить произведения соответствующих элементов первой строки матрицы и элементов второго столбца матрицы .

.

3. Значения элементов a₂₁ и a₂₂ находятся аналогично:

и

соответственно.

Таким образом, .

3.2 Создание нечёткой экспертной системы в пакете CubiCalc

CubiCalc 2.0 – разработка фирмы HyperLogic, является одним из наиболее мощных средств создания систем на основе нечёткой логики. Пакет содержит интерактивную оболочку для разработки нечётких экспертных систем и систем управления.

Фактически пакет CubiCalc 2.0 представляет собой своего рода экспертную систему, в которой пользователь задает набор правил типа «если-то», а система на основе этих правил пытается адекватно реагировать на параметры текущей ситуации. Отличие данного продукта от обычных экспертных систем состоит в том, что вводимые правила содержат нечёткие величины, т.е. имеют вид «если X принадлежит А, то Y принадлежит B», где A и В – нечёткие множества. Аппарат нечёткой логики, заложенный в CubiCalc, дает возможность оперировать нечёткими понятиями как точными и строить на их основе целые логические системы.

Рассмотрим следующий пример: необходимо оценить степень инвестиционной привлекательности конкретного бизнес-проекта (rate) на основании данных о ставке дисконтирования (discont) и периоде окупаемости (period).

Процесс разработки нечёткой экспертной системы в пакете CubiCalc начинается с определения переменных, которые будут использоваться в проекте: Project → Variables → New (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2 – Окно определения переменных

В CubiCalc доступны несколько типов переменных:

1) Fuzzy Input – входная переменная, на области значения которой задаются нечёткие множества, используемые в левой части правил вывода.

2) Fuzzy Output – результат работы системы нечёткого логического вывода, определяющей нечёткие множества, используемые в правой части правил вывода.

3) Constant – переменная с фиксированным значением.

4) Temporary – переменная, принимающая действительные значения (аналогичные значениям типа «float»).

Объявляем первую переменную как discont (путем ввода в поле name). Задаем атрибуты переменной: ее тип (Fuzzy Input), диапазон изменения ее значений [5, 50] (параметры Range Low – нижняя граница диапазона, Range High – верхняя граница), а также начальное значение (Initial Value) равное 5.

После нажатия кнопки «ОК» переменная «discont» появляется в списке переменных (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3 – Список переменных

Аналогично создадим вторую входную переменную – period с диапазоном значений [3, 36]. Наименование выходной переменной, на основании которой принимается решение о степени инвестиционной привлекательности бизнес-проекта, задается как rate (диапазон изменения значений – [0, 1]).

Далее необходимо задать характеристики всех трех переменных: Project → Adjective editor.

Выбрав переменную discont в окне «Adjectives for variables», нажмите кнопку Edit. Здесь каждой входной и выходной переменной поставьте в соответствие набор функций принадлежности Adjective → Change List → New. В появившемся окне «Create Adjective(s)» задайте следующие параметры: количество функций принадлежности (Number) равное 3; вид функции принадлежности (Shape) – triangle; ширину основания (base width), равную 45,0 (см. рис. 3.4).

Рис. 3.4

В окне «Edit Adjective List» присвоим наименования – small, middle, big – соответственно небольшой, средней и большой ставке дисконтирования (см. рис. 3.5). Для переменной period зададим следующие параметры: количество функций принадлежности (Number) равное 3; вид функции принадлежности (Shape) – trapezoid; base width = 33,0, crown width = 8,25. В окне «Edit Adjective List» присвоим наименования – short, normal, long – соответственно короткий, обычный и длительный срок окупаемости.

Рис. 3.5

Для переменной rate зададим следующие параметры: количество функций принадлежности (Number) – 3; вид функции принадлежности (Shape) – triangle; base width = 1. В окне «Edit Adjective List» присвоим наименования – bad, normal, good соответственно.

Далее необходимо определить набор правил, которые связывают входные переменные с выходными. Для этого в редакторе правил вывода (Project → Rules) определим:

IF discont is small AND period is short THEN rate is good;

IF discont is middle AND period is long THEN rate is bad;

IF discont is middle AND period is normal THEN rate is normal;

IF discont is big AND period is short THEN rate is normal;

Следующими этапами выполнения проекта в CubiCalc являются так называемые предобработка и постобработка. В процессе предобработки (Project → Preprocessing) определяются входные данные. Для этого используется функция field(), которая возвращает данные отдельного поля текущей записи.

Откройте Preprocessing Editor (Редактор предобработки) и введите нижеследующие инструкции:

discont = field(1);

period = field(2);

check = field(3);

В рассматриваемой нечёткой системе всего два входа, третья переменная (check) содержит «правильный ответ». Таким образом, мы можем посчитать количество ошибок, совершенных системой в классификации инвестиционной привлекательности бизнес-проекта.

При постобработке (Project → Postprocessing) задается метод автоматической оценки эффективности системы. Необходимо посчитать количество сделанных системой ошибок и вывести сумму в конце запуска. Чтобы обнаружить ошибку классификации в постобработке, необходимо сравнить выходную переменную с информацией в переменной check файла данных.

Чтобы это сделать, вставьте нижеследующие инструкции в окно редактора:

If (rate <> check) errors += 1;end

If (endoffile=TRUE) call message(errors); end

Эти инструкции выполняют сравнение и, если происходит ошибка, дают приращение переменной errors. Последняя инструкция, при достижении конца файла входных данных, выводит окно с сообщением, содержащим данные о количестве ошибок.

В процессе настройки системы используются переменные, отличные от входных и выходных. Для обнаружения и подсчета ошибок классификации мы использовали в редакторе имена переменной check и переменной errors соответственно. Теперь необходимо создать сами эти переменные.

С помощью меню Variables откройте Variables Editor. Появится диалоговое окно, содержащее имена уже созданных входных и выходных переменных. Нажмите кнопку New для создания новой переменной.

В окне Edit Variable определите переменные: сheck (тип переменной – Temporary, начальное значение – 0.0); errors (тип переменной – Temporary, начальное значение – 0.0).

Настройка входного файла

Для импорта входного файла в проект, необходимо:

1) Создать файл с расширением .txt (см. рис. 3.6), задать файлу имя (File → Input File) и некоторые атрибуты (см. рис. 3.7).

Рис. 3.6

Рис. 3.7

2) Указать тип файла – Text. Задать количество Fields per Record (Полей на запись), равное 3 (каждая запись содержит значения для discont, period и check) и количество Lines per Record (Строк на запись), равное 1 (каждая запись занимает одну текстовую строку).

3) Далее необходимо определить, какая информация должна отображаться при запуске системы (Project → Log Format). Нажатием кнопки «Add» выберите из левого списка окна переменные discont, period, rate и check. Убедимся в непротиворечивости указания переменных (Execute → Check Definitions), снимем флажки Initialization, Simulation.

Проверим работу системы, запустив созданный сценарий Execute → Run. Появится окно, содержащее значения переменных и их порядок, выбранные в Log Format Editor. Когда CubiCalc «просмотрит» весь входной файл, появится заданное на этапе предобработки итоговое сообщение.

Для остановки сценария выполните Execute → Terminate.