1.4.3. Определение вероятности

безотказной работы резервированной системы

Для определения вероятности безотказной работы необходимо составить и решить систему дифференциальных уравнений функционирования системы. Система дифференциальных уравнений с учетом экранов (см. рис. 1.2) имеет вид:

□ для схемы (а):

(1.3)

□ для схемы (б):

(1.4)

За начальные условия примем р₀ (0) = 1, р₁ (0) = 0 .

Методика решения уравнений выполняется методом Рунге — Кутты с помощью Derive 6 следующим образом:

- установить режим ввода переменных с индексом, выбрав с помощью кнопок Options и далее Mode Settings режим Input Mode – Word;

- ввести уравнения систем (1.3) и (1.4) в аналитическом виде;

- подставить в уравнения численные значения λ и с помощью кнопки для значений ρ= 1, 0.1, 0.05, 0.01 (при этом целесообразно вместо μ в (1.3) и (1.4) подставить отношение ;

- на экране отобразятся 16 уравнений не объединенных в систему;

- вызвать утилиту решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты: File-Load-Utilite File ODEAproximation.mth;

- набрать и ввести выражение функции решения дифференциальных уравнений

. Решение для t = 1000 час было получено с помощью Derive 6. Удовлетворительная точность решения получается при шаге h = 10. Тогда функция будет иметь вид:

RK([#6,#7],[t,pp0,pp1],[0,1,0],10,100) где #6, #7 — строки, соответствующие правым частям дифференциальных уравнений. Во вторых кв. скобках перечислены аргумент t и все искомые вероятности, в третьих – указаны начальные условия и далее записаны соответственно шаг интегрирования и количество интервалов. Выберем из полученной таблицы значения для t=1000. Так как состояния (0) и (1) соответствуют исправным состояниям системы, то вероятность без­отказной работы будет равна P_c(t) = p₀(t) + p₁(t). Описанное иллюстрируется следующими изображениями с экрана монитора:

Далее, подставляя в строку для RK следующие номера строк вычислим значения p₀(t) и p₁(t) для остальных значений ρ. Результаты решения задачи сведены

в табл. 1.2.

Вероятность безотказной работы нерезервированной системы не зависит от восстановления и равна:

Табл. 1.2. Результаты решения задачи

Постоянное резервирование
ρ	1	0,1	0,05	0,01
Pс(1000)	0,9912	0,9932	0,9947	0,9982
R(1000), усл. ед.	10000	2500	1364	294
Резервирование замещением
ρ	1	0,1	0,05	0,01
Рс(1000)	0,9955	0,9965	0,9973	0,999
R( 1000), усл. ед.	7500	1364	714	149

По данным табл. 1.2 можно сделать следующие важные выводы: резервиро­вание с восстановлением позволяет существенно повысить надежность сис­темы. Так, например, выигрыш надежности по вероятности отказа системы, резервированной по методу замещения, при ρ = 0,01 по сравнению с нере­зервированной системой будет:

т.е. почти в 100 раз.

= 95.2