Однородные координаты. Геометрическая интерпретация

Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно неравных нулю чисел x₁, x₂, x₃, связанных с заданными числами x и y следующими соотношениями:

x₁/x₃=x, x₂/x₃=y.

При решении задач компьютерной графики однородные коорди­наты обычно вводятся так: произвольной точке М(х, у) плоскости ста­вится в соответствие точка М*(х,у,1) в пространстве. Произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку 0(0, 0, 0) с точкой М*(х, у, 1), может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).

При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.

Виды проецирования.

Все виды проецирования можно разделить на два основных класса центральное и параллельное. Для получения проекции объекта на плоскость требуется провести прямую через каждую точку объекта и определить координаты пересечения этих прямых с плоскостью проекции. При этом лучи прямые будем называть проецирующими, а плоскость пересечение с которой ищем назовем картинной плоскостью. В случае параллельного проецирования все прямые должны быть параллельны. При центральном проецировании все прямые выходят из одной точки – центра

ортографическая проекция (параллельно одной из координатных плоскостей) координатная плоскость параллельна или совпадает с одной из координатных плоскостей. Если она параллельна, то необходимо координаты исходной точки умножить на матрицу сдвига с параметром m или n или l <>0.

2) аксонометрическая проекция (проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости):триметрическая (нормальный вектор картинной плоскости образует с ортами координатных осей попарно различные углы);

диметрическая (два угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны);изометрическая (три угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны); Каждый из трех видов аксонометрических проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование. Например, поворот вокруг оси ординат, оси абцисс и проектирование вдоль оси аппликат.

3) Проекции, для получения которых используется пучок прямых, не перпендикулярных плоскости экрана, называют косоугольными.

Свободная-;кабинетная.Среди перспективных проекций выделяются:-одноточечная (r  0);-двухточечная (p, q  0);-трехточечная (p, q, r  0).

Н а фотографиях, картинах, экране изображения кажутся нам естественными и правильными. Такие проекции называют перспективными. Одно из их основных свойств – более удаленные предметы изображаются в меньших масштабах, а параллельные прямые, в общем случае, не параллельны. Обычная перспективная проекция – это центральная проекция на плоскость прямыми лучами, проходящими через точку – центр проецирования. Один из проецирующих лучей перпендикулярен к плоскости проецирования и называется главным. Точка пересечения этого луча и плоскости проекции – главная точка картины. Когда нужно показать широкую панораму или окружающее нас пространство, плоская картина становится неэффективной. Можно представить себе зрителя окруженным цилиндрической или сферической (полусферической) поверхностью, на которую нанесено изображение. Чтобы на экране изображение воспринималось правильным, на пленке оно должно быть построено по специальным алгоритмам. Такие разнообразные проекции называются специальными.