Правило Лопиталя Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует, т.Е.
Замечания:
1 Как ранее сказано, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей , иногда для достижения цели производится повторное дифференцирование.
2 Для раскрытия неопределенностей используйте
структурную схему «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя»
(приложение Б)
3.1
3.2
3.3
Освободим
знаменатель от сомножителя
,
поскольку
,
получим
.
3.4
Раскрытие неопределенности
Если
при
,
то получаем неопределенность
,
необходимо с помощью тождественных
преобразований свести ее к основным
типам:
.
3.5
[приведем
к общему знаменателю]
.
3.6
=
=
предел первого сомножителя находится элементарно:
К пределу второго сомножителя применим правило Лопиталя:
|упростим
полученное выражение, в знаменателе
sinx
вынесем за скобку и сократим на sinx|=
|применим правило Лопиталя| =
Таким
образом, искомый предел равен
Раскрытие
неопределенности
Пусть
f(x)=
,
при х
,
то при х
функция f(x)
имеет неопределенность
,
ее можно привести к виду
путем
преобразований
Первое
из этих выражений представляет при
неопределенность вида
3.7
3.8
Раскрытие неопределенностей
Для
функции
в случаях:
получаем
неопределенности соответственно вида:
Для
раскрытие этих неопределенностей
удобно воспользоваться основным
логарифмическим тождеством
Рассмотрим
.
Для раскрытия этой неопределенности
см. предыдущие примеры
3.9
3.10
3.11
3.12
