2.2.4. Случайность как непредсказуемость
С
лучайность
или детерминированность процесса
связывается с возможностью его
предсказания с помощью имеющейся модели.
Пусть имеется регистрируемый процесс
x(t)
и модельный процесс z(t).
Зададим модельный процесс так, чтобы
z0
= x0
, а качество прогноза оценивать разницей
x(t)
− z(t)
= Δ(t)
– ошибкой прогноза, Δ(t0)
=0. Мерой степени предсказуемости могут
выступать: 1) средний квадрат ошибки; 2)
взаимная корреляционная функция
исходного и модельного процессов.
Качество предсказуемости можно выразить
через различные схожие величины. Оценка
процесса как случайного или
детерминированного определяется
возможностью его предсказания с помощью
имеющейся модели. Случайно то, что мы
по какой-то причине не можем предсказать.
2.3.
Концепция частичной детерминированности
основана на
соглашении, что в качестве признака
случайности (детерминированности)
выбирается непредсказуемость
(предсказуемость) наблюдаемого процесса
x(t)
на основе определенной прогностической
модели z(t).
В качестве величины, характеризующей
степень детерминированности
(предсказуемости) удобно использовать
взаимную корреляцию
.
D – область полной детерминированности;
DC – область частичной детерминированности,
C – область непредсказуемого поведения.
Время, при котором степень предсказуемости
спадает до определенной пороговой
величины, называют временем
детерминированного поведения.
Для реальной системы оно ограничено,
т.к.: 1)
измерительный шум; 2)
неучтенные внешние воздействия -
«динамический шум», неслучайный, можно
ввести в модель как поправку; 3)
модель не адекватно отражает свойства
объекта - «шумы незнания». «Горизонт
предсказуемости»
.
При его превышении D(τ)->0.
П
опулярна
оценка
,
- ширина спектра. При
- белый шум.
2.4. Λ и пределы предсказуемости Если исследуемый процесс – хаотический, то дальность прогноза связана со скоростью разбегания близких траекторий. Она определяется величиной его старшего ляпуновского показателя Λ1. ϭ2x – дисперсия наблюдаемой величины, соотв – измерительного шума, динамического шума и погрешности модели («шумов незнания»), а Λ1 положителен. 2.5. Масштабы рассмотрения: Если при анализе реального процесса в некотором интервале масштабов ляпуновский показатель постоянен, то в этом интервале приближение разумно рассматривать как детерминированное. Если Λ(ε) растет с уменьшением ε, нужно рассматривать приближение как шум (случайный процесс). 2.6. Пример с монетой (чит. соотв. §)
Глава 3. Динамические модели эволюции
3.1.1. Оператор, отображение, уравнение, оператор эволюции
Динамическое моделирование подразумевает задание D-мерного вектора состояния x=(x1, x2,..., xD), где xk – динамические переменные, и указание правила Фt, позволяющему по начальному состоянию x(0) однозначно определить состояние в будущем x(t)= Фt(x(0)). Фt – оператор эволюции. Оператор – то же, что отображение. Отображение – закон, по которому каждому элементу x некоторого заданного множества X однозначно сопоставляется определенный элемент y множества Y. Если один элемент мн-ва Х отображается в другой эл-т мн-ва Х – это отображение в себя.
Оператор эволюции может быть задан непосредственно – как отображение множества начальных состояний x(0) в множество состояний в последующие моменты x(t) , но чаще это делается с помощью уравнений. Уравнение – запись задачи о разыскании элементов a некоторого множества A, которые удовлетворяют равенству F(a) = G(a), где F и G - заданные отображения множества A в множество B. Если задано уравнение, то оператор эволюции может быть получен путем его решения. Если А и В – численные множества, то возникают алгебраические и трансцендентные уравнения. Если А и В – множества функций, то в зависимости от характера отображений получают дифференциальные, интегральные и другие уравнения.
Для обыкновенного дифференциального уравнения теорема о существовании и единственности решения гарантирует существование и взаимную однозначность отображения Фt. Иногда удается найти его аналитически. Чаще это невозможно, и решение ищут приближенно в виде численного алгоритма, реализующего движение изображающей точки в фазовом пространстве.