6.Определители. Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа.

Минором некоторого эл-та ij,наз. определитель полученный из исходной матрица вычеркиванием ее строки, на пересечение кот. стоит указанный эл-т.(Мij)

Пример: определитель матрицы 3 - его порядка:

тогда согласно определению минора, минором М₁₂, соответствующим эл-ту а₁₂, будет определитель:

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу выч-ия определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех эл-ов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

знак перед произведением равен (-1)ⁿ, где n = i + j.

Алгебраическим дополнением эл-та а_ij наз.его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А_ij.

А_ij = (-1)^i+j × М_ij

Определитель матрицы равен сумме произведение эл-тов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Пример: Теорема Лапласа.

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

detА=

Пример:

Билет 7. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Основные понятия. Св-ва обр. матрицы. Алгоритм выч-ния обр. матрицы.

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица -го порядка, определитель которой отличен от нуля. Если же определитель равен нулю, то такая матрица называется вырожденной.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1, если при умножении этой матрицы на данную, как справа, так и слева получается единичная матрица. Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Свойства обратной матрицы:

1.   .

2.  

3.

Для нахождения обратной матрицы  применим алгоритм:

1.Найдем определитель матрицы А и убедимся, что он отличен от нуля, т.е. матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу .

2. Находим матрицу А’, транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения эл-тов транспонированной матрицы А’ij=Ail(i=1, 2…, n; j=1, 2…, n) и составляем из них присоединенную матрицу А: aij=A’ij=Aij(i=1, 2…, n; j=1, 2…, n).

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

Билет 8. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1, если при умножении этой матрицы на данную, как справа, так и слева получается единичная матрица

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы  существует обратная матрица   , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует  матрица , для которой  и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где  и .

Значит, , что и требовалось доказать.

Билет 9. Ранг матрицы. Св-ва ранга матрицы. Алгоритм выч-ния (метод окаймляющих миноров, элементарные преобразования).

Рангом матрицы А наз-ся наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из определения следует:

1.Ранг матрицы не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A)<или=min(m; n)

2. r(A)=0 когда все эл-ты матрицы равны 0, т.е. А=0

3. для квадратной матр. n-ого порядка r(A)=n, когда матр А невырожденная.

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы: