- •1.Матрицы. Основные понятия. Виды матриц.
- •2.Линейные операции над матрицами. Св-ва операций.
- •3.Нелинейные операции над матрицами. Св-ва операций.
- •4. Определители. Основные понятия. Свойства определителей.
- •Свойства определителей
- •5.Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Св-ва определит.(сумма опред., тождественные преобраз., сумма произвед. Эл-ов строк и столбцов)
- •Свойства определителей
- •6.Определители. Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа.
- •1. Метод окаймляющих миноров
- •2. Метод элементарных преобразований
- •Билет 11. Понятие линейной зависимость и линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •12. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Основные понятия. Матричная форма записи слау.
- •13. Системы лин.Ур-ий. Реш-ие сист. Лин. Ур-ий. Теорема Кронекера-Капелли.
- •14. Решение невырожденных систем линейных ур-ий. Теорема Крамера. Привести пример решения слау методом Крамера.
- •1 6. Решение систем линейных ур-ий методом исключения Гаусса (алгоритм решения, достоинства и недостатки данного метода).
- •Пример расчета межотраслевого баланса
- •22. Векторное произведение. Представление в виде определителя. Ориентация результирующего вектора. Модуль векторного произведения, его геометрический смысл.
- •23.Общее определение линейного пространства. Линейное векторное пространство. Примеры линейных пространств.
- •25. Определение скалярного произведения векторов в n-мерном векторном пространстве, его свойства. Евклидово действительное пространство. Ортогональный и ортонормированный базис в пространстве.
- •26. Собственные векторы матриц. Собственные числа матриц. Характеристическое уравнение. Базис определяемый собственными векторами матрицы.
- •27. Виды систем координат на плоскости. Уравнения связи декартовых и полярных координат. Примеры.
- •28. Прямая на плоскости. Виды задания прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •32.Плоскость в трехмерном пространстве. Виды задания пл-тей.
3.Нелинейные операции над матрицами. Св-ва операций.
Умножение матриц(AB) есть оп-ция вычисления матрицы C, эл-ты кот. равны сумме произведений эл-ов в соответствующей строке 1ого множителя и столбце 2ого.
Правило: чтобы получить эл-т, стоящий в i-й строке и j-ом столбце прозвед-ия 2х матриц, нужно эл-ты i-й строки 1ой мат-цы умножить на соответствующие эл-ты j-го столбца 2ой мат-ры и получ. произвед-ия сложить.
В 1ом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во 2ом. Если матрица A имеет размерность m×n, B — n×k, то размерность их произведения AB=C есть m×k.
Св-ва мат-ц: 1) A*(B*C)=(A*B)*C; 2)A*(B+C)=AB+AC; 3)(A+B)*C=CA+CB; 4)α*(A*B)=(αA)*B
Возводить в степень можно только квадрат.матрицы.
Транспонирование матрицы (АТ) – оп-ция, при кот. матрица отражается относительно главной диагонали.
Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием мат-цы, если эл-ты каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. Обозначается АТ.
Другими словами, aij = bji.
Св-ва: 1) ; 2)
4. Определители. Основные понятия. Свойства определителей.
Квадр. матрице А порядка N можно сопоставить число det A (или |A|), называемое ее определителем следующим образом:
Определитель мат-цы А также наз. ее детерминантом. Методы, позволяющие реализовать вычисление определ-ей высоких порядков на основе определителей низших порядков.
Один из методов основан на св-ве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определ-ли невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.
Вычисление определ-ля 2-го порядка иллюстрируется схемой:
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса):
Свойства определителей
1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак
3. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
4. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
Из св-в 3 и 4 следует, что если все эл-ты некотор. ряда пропорциональны соответствующим эл-там параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
5.Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Св-ва определит.(сумма опред., тождественные преобраз., сумма произвед. Эл-ов строк и столбцов)
Вычисление определ-ля 2-го порядка иллюстрируется схемой:
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса):
Свойства определителей
1. Если эл-ты какого-либо ряда опред-ля представляют собой суммы 2х слагаемых, то опред-тель может быть разложен на сумму 2х соответствующих опред-лей.
2. Определитель не изменится, если к эл-там 1ого ряда прибавить соответствующие эл-ты параллельного ряда, умноженные на любое число.
3. Определитель произвед-ия 2х квадр. матр-иц : C=A*B равен произвед-ию detС= detВ* detА.
4.Сумма произвед-ий эл-ов строки или столбца,по кот. раскрывается опрделит. умноженный на алгебраич. дополнение параллельного столбца или строки равен нулю.