- •25.Множества чисел
- •26.Функция
- •27.Числовые последовательности
- •28.Предел функции непрерывного аргумента
- •29. Свойства бесконечно малых функций
- •31.Теорема о двух милиционерах
- •33. Свойства пределов функции
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •34.Непрерывность функции
- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •35.Свойства функций непрерывных на промежутке
- •36. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
- •37.Производная функции в точке
- •Производная показательной функции
- •Производная логарифмической функции
- •39. Производная сложной функции
- •40. Производная обратной функции
- •41.Производная функций заданных неявно
- •42.Дифференциал функции
- •Свойства дифференциала.
- •43. Производные высших порядков
- •44.Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа (обобщение теоремы Ролля)
- •45.Теорема Коши
- •Доказательство
- •46.Исследование функции
- •Необходимое условие точки перегиба
- •Достаточное условие точки перегиба
- •54.Исследование схема Общая схема исследования функции
АНАЛИЗ
25.Множества чисел
N |
|
||
Z |
{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. |
||
Q
|
Множество рациональных чисел.Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1.Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. |
||
R |
Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:
Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.
Квантор существования
∃- квантор существования, используется вместо слов "существует",
"имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.
Абсолютная величина
Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа называется неотрицательное число , которое определяется по формуле:
Так, например,
Свойства модуля
Если и – действительные числа, то справедливы равенства:
|
|
|
|
|
|
Кроме того, справедливо соотношение:
В то же время справедливы неравенства:
|
(неравенство треугольника) |
|
|
|
|
|
|
26.Функция
зависимость между двумя или большим количеством величин, при которой каждым значениям одних величин, называемых аргументами функции, ставятся в соответствие значения других величин, называемых значениями функции.
Область определения функции
Областью определения функции называют те значения независимой переменной x, при которых все операции, входящие в функцию будут выполнимы.
Непрерывная функция
Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если
|