МАТЕМАТИКА ЭКЗАМЕН

№1)Определители, св-ва определ-ей.

Пусть заданы числа а1,а2,b1,b2(действит.или комлексн.),они опред-ют число Δ=| |=а1b1-а2b2. Δ – назыв.определителем или детерминантом 2-го порядка. а1,а2,b1,b2-элем-ты опред-ля. a1,b2-главн.диагональ,а2,b1-побочная. Свойства.1)опред-ль не изменится если строки определ-ля заменить соответствующими столбцами, а столбцы,соответ-ми строками. | |=| |=a1b2-a2b1=a2b2-a1b2. 2)Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя. | |=| |=ka1b2-ka2b1=k(a1b2-a2b1).3)Если элем-ты какой-либо строки(столбца) опред-ля соответ-но = элем-ам др.строки(столбца), то опред-ль=0. | |=0=a1a2-a2a1=0. 4)При перестановке двух строк(столбцов)опред-ль меняет знак на противоположный.| |=-| |=a1b2-a2b1=-(a2b1-a1b2). 5)Опред-ль не изменится если к элем-ам какой-либо строки(столбца) прибавить элем-ты другой строки(столбца) умноженные на одно и тоже число.| |=| |=b2(a1+kb1)-b1(a2+kb20=a1b2+kb1b2-a2b1-kb1b2=a1b2-a2b1.ниже будут введены опред-ли 3-го – n-ого порядка, для них сво-ва 1-5 сохран. Определитель 3-го порядка. Число Δ,записываемое в форме Δ=

| =a11a22a33+a12a23a31+a13a23a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33. Δ=|a_ij|,где a_ij-элем-ты опред-ля.i-№строки,j-№столбца. Опред. Минором (обозн.М_ij)данного элем-та опред-ля a_ij назыв.опред-ль 2-го порядка,кот-ый получится если в данном определ-ле 3-го порядка вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент a_ij. | a_ij |=| |=| |, М₁₁=| |, М₂₃=| |. А₁₁=(-1)¹⁺¹* М₁₁, А₂₃=(-1)²⁺³* М_23. Опред.алгебраическим дополнением А_ij элем-та a_ij данного опред-ля 3-го порядка назыв.его минор умноженный на (-1)^k, где k=i+j А_ij=(-1)^k. М_ij, k =i+j. Теорема.опред-ль 3-го порядка равен сумме произведений элем-ов любой его строки или столбца на их алгебраическое дополнение. Эта теорема позволяет вычислять знач.опред-ля раскрывая его по элем-ам любой строки или любого столбца. Пример.Δ=| |=(-1)¹⁺¹*a11| |+(-1)¹⁺²*a12| |+(-1)¹⁺³*а13| |. Δ=а11| |-а12| |+а13| |. Теорема.сумма произведений элем-ов какой-либо строки(столбца) определит.на алгебраич.дополнение.элем-ов др.строки(столбца)=0. С помощью опред-ей 3-го порядка можно ввести понятие опред-ей 4-го и более высоких порядков. Опред-ем или детерминантом n-uj порядка наз.число записываемое в виде Δ=| a_ij |=| |. Для опред-ей любых порядков остаются в силе определения минора и алгебраического дополнения и обе теоремы справедливы для алгебраич.дополн.

№2.Решение систем линейных уравнений. Правило Крамера.

Пусть дана система n-линейных ур-ий с n-неизвестными.

{ (*). Если опред-ль системы (*),т.е.опред-ль, составленный из коэфицентов при неизвестных х_i отличен от нуля. Δ{ ≠0,то система имеет единств.решение, кот-ое находится по формулам Крамера: Х_i=Δх_i/Δ,i=1,2…,n,где

Δх_i=| |, т.е. Δх_i-опред-ль, полученный из Δ заменой i-го столбца,(столбца коэффицентов при неизвестной х_i) столбцом свободных членов. Метод Крамера применим тогда и только, когда 1)число ур-ий=числу неизвестных.,2)Δ≠0. Пример1.(см.на обратной стороне.). Система урав-ий вида: { - однородная система. Если опред-ль однородной системы≠0, то она имеет единственное решение. х1=х2…хn=0-тривиальное решение. если же определитель однородный=0, то она имеет бесконечно много решений.

№3.Матрица,действия над матрицами.

Таблица чисел aij А=( )=|| ||=||a_ij||=(a_ij), состоящая из m строк и n столбцов, назыв.прямоугольной матрицей размера m×n. a_ij-элем-ты матрицы. Если m=n, то матрица назыв.квадратной n-го порядка. Матрица А=||a_ij|| это таблица, однако для квадратной матрицы можно рассматривать число |a_ij|=detA=Δ-опред-ль, порождённый этой матрицей. Матрица А назыв. невырожденной если её определител отличен от нуля detA≠0,вырожденной если detA=0. Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию a_ij=a_ji,то матрица назыв.симметрической. две матрицы А и В равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и когда равны их соответственные элементы a_ij=b_ij. Матрица, все элем-ты, которой=0 назыв.нулевой. Матрица, получающаяся з данной, путём замены всех строк соответствующими столбцами назыв.транспонированной и обозначается А′. А′=( ). Матрица, состоящая из одной строки назыв. матрицей-строкой, а из одного столбца-матрицей-столбцом. В=( ),B′=(123) А=(123), А′( ). Если в квадратной матрице все элементы расположенные вне главной диагонали=0,то матрица назыв.диагональной, если все элем-ты диагональной матрицы=1, то матрица назыв.единичной и обознач. Е=( )-единичная матрица 4-го порядка. Две матрицы наз.однотипными если они имеют одинаковое число строк и столбцов.складывать можно только однотипные матрицы. Сумма двух матриц А=||a_ij|| и В=||b_ij|| наз.матрица С=А+В, где с_ij=а_ij+b_ij. А+В=В+А А+(В+С)=(А+В)+С Умножить матрицу А на число k, это значит умножить каждый её элемент на число k,т.е. k·А=( ).Очевидно k(A+B)=kA+kB. Произведение матрицы А размерности m×p на матрицу B размерности p×m назыв.матрица “с” размерности m×n,где с_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj. Из определения следуют: 1)перемножать можно только такие матрицы, у которых число столбцов первой,= числу строк второй. 2)для нахождения элем=та с_ij матрицы с=А*В надо взять i-тую строку матрицы А и j-тый столбец матрицы В. Затем каждый элемент строки умножить на соответствующий элемент столбца и полученные произведения столбца. . Сво-ва произведения матриц. 1)AB≠BA; 2)(A+B)C=AC+BC; 3)A(B+C)=AB+AC; 4)AE=EA=A, Е-единичная матрица. 5)АD=DA=D, D-нулевая матрица. 6)(AB)C=A(BC). Пример1.(см.обратную сторону).

№4.Обратная матрица.

Опр.Матрица А^-1 назыв.обратной к матрице А, если А*А^-1= А^-1*А=Е, где Е-единичная матрица. Обратная матрица существует если 1)матрица А-квадратная 2)если detА≠0 (т.е.А-невырожденная). Обратная матрица находится по формуле А^-1=1/detA*( ). А_ij-алгебраические дополнения элем-ов а_ij опред-ля матрицы А, причём алгебраические дополнения элем-ов строк записываются в соответствующие столбцы. Пример. А=( ) Найти А^-1.

№6.Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы.

Пусть дана прямоугольная матрица: А=( ). Выделим в этой матрице k-произвольной строк и k-произвольной,k≤m,k≤n. Опр.опред-ль k-ого порядка, составл-ый из элем-ов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов называется минором k-ого порядка матрицы А. Матрица А имеет С^k_n. С^k_n =(m!/k!(m-k)!)×(n!/k!(n-k)!). Рассмотрим все возможные миноры матрицы А, отличные от нуля. Опр.рангом матрицы А назыв.наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элем-ты матрицы А=0,то ранг этой матрицы считают=0. Всякий отличный от нуля минор матрицы А, порядок кот-го=рангу этой матрицы назыв.базисным минором матрицы А. Из опред-ия=>1)ранг матрицы r(А)=r-есть целое число, причём rN,0≤r≤min(m,n). 2)все миноры (r+1)-ого порядка матрицы А=0 или не существуют, а среди миноров r-ого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Опр.Если ранг матрицы А=рангу матрицы В, r(A)=r(B),то АВ.Теорема.ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях,под преобраз-ми поним.1)замену строк столбцами, а столбцов соответ-ми строками. 2)перестановку строк матрицы. 3)вычёркивание строки, состоящей из нулей. 4)умножение элем-ов какой-либо строки на число, отличное от нуля. 5)прибавление к элементам одной строки соотв.элементов другой строки. Вычислять ранг матрицы, пользуясь определением очень громоздкая и трудоёмкая задача. На практике для вычисления ранга матрицы А необходимо свести её элементарными преобразованиями к такой матрице, ранг кот-ой находится легко,например ступенчатой матрицы В. В=( ),где b₁₁ b₂₂ b₃₃≠0. r(B)=r, т.к.минор r-ого порядка, составленный из первых r-строк и r-столбцов= b₁₁ b₂₂ b₃₃≠0,а миноры более высокого порядка составить нельзя. Ранг матрицы В=числу не нулевых строк этой матрицы. Пример.(см.на др.стороне.).

№8.Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.(вместе с вопросом№9)

Рассм.систему m-линейных ур-ий с n-неизвестными: { (1). Решением этой системы называется совокупность чисел (х₁,х₂,…,х_n),кот-ые при подстановке вместо неизвестных в урав-ие системы обращает эти урав-ия в тождества. Система(1) назыв.совместной если она имеет хотя бы одно решение, несовместной если она не имеет решений. Совместная система назыв.определ-ой если она имеет только одно решение и неопределённой если она имеет больше 1-ого решения. Матрицы А=( ) (А/В)=( ). Матрицы А и А/В назыв.соответ-но матрицей и расширенной матрицей системы (1). Теорема. Линейная система (1)совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы и расширенной системы равны, т.е. r(A)=r(A/B)=r. Если r=n, имеет единств.решение. Если r<n=>решений бесконечно много. Пусть r<n.Рассм.какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в этом миноре произвольную строку. Элементы этой строки являются коэффицентами при r неизвестных в одном из уравнений системы (1). Эти r-неизвестных назовём базисные, а остальные r-n-неизвестные-свободным. Выделим в системе (1)r-урав-ий, среди коэф-ов кот-ых содержатся элем-ты базисного минора. Базисные неизвестные в выделенных урав-ях системы оставим в левых частях, а слагаемые, кот-ые содержат свободные неизвестные, перенесём вправо. Из полученных ур-ий выразим базисные неизвестные через свободные. Придавая свободным неизвестным произвольные значения можно найти соответствующие значения базисных неизвестных =>система(1) будет иметь бесконечно много решений.

№9.Система линейных однородных урав-ий. (вместе с вопросом №8).

Исследовать систему ур-ий: { ,(А/В)=(см.др.сторону.-1_) =>r(A)=r(A/B)=r=>система совместна. Т.к.r<n=>система имеет беск.много решений. Т.к.r=2,то =>2 базисные неизвестные, n-2=r=>2 свободные неизвестные в качестве базисных неизвестных например можно взять х₁ и х₂, т.к.определитель≠0,т.е. базисный минор | |≠0,тогда свободными будут х₃ и х₄. { =>{ =>х₁=³⁰/₁₁х₃+³⁵/₁₁х₄-¹⁰/₁₁х-4х₃-3х₄+1.=>х₁=-¹⁴/₁₁х₃+²/₁₁х₄+¹/₁₁. пусть х₃=с₁, х₄=с₂, где с₁,с₂ – некоторые константы, с₁,с₂=const, с₁,с₂R. Ответ.(см.на др.стороне.) придавая с₁ и с₂ различные числовые значения будем получать различные решения системы. Численной решение линейных алгебраических ур-ий, с помощью определителя (метод Гаусса) удобно производить для систем 2-ух и 3-ёх систем ур-ий. В случае же большего числа ур-ий удобнее пользоваться методом Гаусса, кот-ый сост.в последующем исключении неизвестных. Если система имеет единств.решение, то ступенчатая система ур-й приведётся к треугольной, в кот-ой последнее ур-ие содержит одно неизвестное. В случае неопред.системы треугольной системы не получится, т.к. последнее ур-ие содержит более 1-го неизвестного. Если же система несовместна, о после приведения к ступенчатому виду она содержит хотя бы одно ур-ие виде 0=1,т.е.все коэффиц-ты в левой части при неизвестных=0, а свободный член отличен от нуля. Пример(см.др.сторону.)

№10.Вектор,сложение векторов, умножение вектора на скаляр, св-ва векторной суммы.

Величина, определяемая только своим численным значением называется скалярной (масса,площадь,объём,температура). Величина, кот-ая по мимо численного значения определяется ещё и направлением называется векторной (скорость,сила,ускорение). АВ=а А-начало, В-конец.(см.рис.1.). Длина вектора АВ назыв. его модулем и обознач.:|АВ|=|а|=а=АВ. Векторы, параллельные одной прямой, назыв.колениарные. АВ||CD||EF, АВ↑↑EF, AB↓↑CD (см.рис.2). Два вектора назыв.равными, если 1)длина вектора АВ=длине вектора CD,т.е. |AB|=|CD|. 2)вектора АВ и CD-колениарны,т.е. AB||CD, 3) АВ↑↑CD. Из определения вектора=>,что вектор однозначно определяется своим направлением и длиной. Произведение вектора А на число М называется вектор b=m*a,такой что:1)|b|=|m|*|a|; 2)b‌‌‌‌‌‌‌‌‌||а; 3)если m>0,то b↑↑a, если m<0,то b↑↓a. В частности: -1*а-назыв.противоположным вектору а и обозн.—(-а). Вектор, длина кот-ого=1,назыв. единичным вектором. Очевидно,что а=|а|*а°,где а°=а/‌|а|-есть единичный вектор направления а. суммой двух векторов ОА=А и ОВ=b, приведённых к общему началу “о” назыв.диагональ D параллелограмма ОАDВ, построенного на векторах а и b (см.рис.3). Суммой 3-х векторов ОА=а, ОВ=b, ОС=с не лежащих в одной плоскости назыв.диагональ ОМ параллелог-ма, построенного на этих векторах (см.рис.4.). OM=OA+AN+NM=a+b+c. Разностью 2-х векторов а и b назыв.вектор с, кот-ый нужно сложить с вектором b, чтобы получить вектор а. a-b=cc+b=a (см.рис.5). Очевидно, что a-b=a+(-b). Свойства:1)вектор a+b=b+a; 2)(a+b)+c=a+(b+c); 3)m(a+b)=ma=mb; 4)(m+n)a=ma+na. Векторы, параллельные одной плоскости назыв.комплонарными.

11.Проекция вектора на ось, свойства проекций.

Пусть дан вектор AB и ось Ox. A₁B₁ = пр_OxAB = |AB|cos, 0    180^o (рис.1) Св-ва проекции: 1) пр_Ox(a+b) = пр_Oxa + пр_Oxb; 2) пр_Ox(ma) =mпр_Oxa. Пусть дана прямоуг. система координат и произвольная т.М в пространстве. OM-радиус-вектор(рис.2). Проекции радиус-вектора ОМ z,y,z на оси координат наз. декартовыми(прямоугольными) координатами т.М в пространстве. |OM|=x²+y²+z². Пусть в прямоуг. системе координат даны две т-ки А и В(рис.3). АВ=r₁-r₂; пр_OxAB=x₂–x₁; пр_OyAB=y₂–y₁; пр_OzAB=z₂–z₁; |AB|=(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²+(z₂–z₁)².

№12. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, разложение вектора по базису.

Векторы называются линейно независимыми, если . Векторы называются линейно зависимыми, если они не являются линейно независимыми, т.е. существуют числа такие, что . Упорядоченная система элементов e₁,…,e_n линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства.

№13.Прямоугольная система координат. Координаты точки и вектора в системе координат. Длина вектора, направляющие косинусы вектора.

Система трёх взаимно  осей Ox, Oy, Oz с общим началом в т. О и одинаковой единицей масштаба наз. прямоугольной системой координат в пространстве. Направление осей можно задать единичными векторами i, j, k, которые наз. ортами этих осей соответственно(рис.1). Пусть дана прямоуг. система координат и произвольная т.М в пространстве. OM-радиус-вектор(рис.2). Проекции радиус-вектора ОМ z,y,z на оси координат наз. декартовыми(прямоугольными) координатами т.М в пространстве. |OM|=x²+y²+z². |ОМ|-длина вектора. Направляющие косинусы вектора ОМ: Пусть в прямоуг. системе координат даны две т-ки А и В(рис.3). АВ=r₁-r₂; пр_OxAB=x₂–x₁; пр_OyAB=y₂–y₁; пр_OzAB=z₂–z₁; |AB|=(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²+(z₂–z₁)². Направляющие косинусы вектора ОМ: cos=x/|OM|; cos=y/|OM|; cos=z/|OM|. сos²+ сos²+ сos²= (x/|OM|)²+(y/|OM|)²+(z/|OM|)²=(x²+y²+z²)/(x²+y²+z²)=1.

№14.Скалярное произведение векторов и его свойства. Условие перпендикулярности векторов.

Скалярным произведением двух векторов a и b наз. число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними(рис.1): ab=|a||b|cos, =(a^b); пр_ab=|b|cos  ab=|a|пр_ab или ab=|b|пр_ba. Св-ва: 1)ab=ba; 2)a(b+c)=ab+ac; 3)(ma)(nb)=(mn)(ab); 4)Если a||b, то =(a^b)=0^o или 180^o cos = 1 ab=|a||b|. В частности аа=а²=|a|² т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длинны |a|=a² ; 5) Если ab, то =90^o cos=0 ab=0; Обратно если ab=0 a=0 или b=0 или ab; 6)i²=j²=k²=1; 7)Если a={a₁+a₂+a₃}=a₁i+a₂j+a₃k; b={b₁+b₂+b₃}=b₁i+b₂j+b₃k; тогда ab=(a₁i+a₂j+a₃k) (b₁i+b₂j+b₃k) = a₁b₁i²+a₁b₂ij+ a₁b₃ik+a₂b₁ij+a₂b₂j²+a₂b₃jk+ a₃b₁ki+a₃b₂kj+a₃b₃k² =a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃; ab=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃; 8)ab=|a|пр_abпр_ab=ab/|a|; 9) ab=|a||b|cos,=(a^b) cos=ab/|a||b| или cos=(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)/(a₁²+a₂²+a₃² b₁²+b₂²+b₃²); 10)Если ab,a0,b0,тогда abab=0; 10)a||ba₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b_3.

№15.Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл.

Векторным произведением ab наз. вектор с, такой что: 1)|c|=|ab|=|a||b|sin, =(a^b) т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, натянутого на вектора a и b(рис.1); 2) ca, cb; 3)a,b,c - правая связка; Св-ва: 1)ab= -ba; 3)manb=(mn)ab; 3)(a+b)c=ac+bc; 4)a||b, sin=0ab=0; Обратно: ab=0, a0, b0a||b; a||bab=0; 5)ii=jj=kk=0; ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j(рис.2). Векторное произведение двух смежных даёт следующий со знаком «+». Если идти в обратном направлении, то со знаком «-». Пусть a={a₁+a₂+a₃}=a₁i+a₂j+a₃k; b={b₁+b₂+b₃}=b₁i+b₂j+b₃k; ab= (a₁i+a₂j+a₃k) (b₁i+b₂j+b₃k)= a₁b₁ii+a₁b₂jj+a₁b₃ik +a₂b₁ij+a₂b₂jj+a₂b₃jk+ a₃b₁ki+a₃b₂kj+a₃b₃kk =a₁b₂k-a₁b₃j- a₂b₁k+a₂b₃i+a₃b₁j-a₃b₂i =i(a₂b₃-a₃b₂)-j(a₁b₃-a₃b₁)+k(a₁b₂-a₂b₁)=(*)=xi+yj+zk, где x=(*1), y=(*2), z=(*3). Из определения векторного произведения следует, что площадь парал-ма, построенного на векторах а и b: S=|ab|; а площадь треугольника: S=1/2|ab|.

№16.Смешанное произведение векторов и его свойства.

Умножим вектора аb, а затем полученный вектор u скалярно умножим на вектор с, тогда получим число, которое наз. смешанным произведением a,b,c: (ab)c-число; a={a₁+a₂+a₃}; b={b₁+b₂+b₃}; c={c₁+c₂+c₃}; u={u₁+u₂+u₃}; (ab)c=uc= u₁c₁+u₂c₂+u₃c₃=(*). Св-ва: 1)От перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняет знак, сохраняя абсолютную величину(т.к. при этом меняются две строки определителя); 2)Операции скалярного и векторного умножений в смешанном произведении можно поменять местами т.к. по св-ву (1) (ab)c=-(cb)a=(bc)a=a(bc), поэтому смешанное произведение часто записывают abc, опустив скобки и знаки действий, т.к. безразлично какие два рядом стоящих вектора перемножаются векторно, а какие скалярно. Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть OA=a, OB=b, OC=c–некомпланарны(правая связка)(рис.1). Т.к. векторы a,b,c-правая связка, то вектор u будет направлен в ту же сторону, что и с. V_п=S_ABCD H=|(ab)|пр_uc=|u|пр_uc=uc=(ab)c. Таким образом V_п=(ab)c причём «+» берётся если a,b,c-правая связка, и «-» если левая. V_п=|(ab)c|; V_пир=1/6|(ab)c| (рис.2). 1)Пусть a,b,c-компланарны, или какие-то два из трёх векторов коллинеарны: a||bu=ab=0; 2)Или с лежит в плоскости двух других векторов а и b, т.е. проекция вектора с на вектор u пр_uc=0. Но и в том и в другом случае имеем, что смешанное произведение a,b и c будет равно (ab)c=|u|пр_uc=0. Обратно: (ab)c=0ab=0 или пр_uc=0. a,b,c - компланарны(ab)c=0 или (*1).

№18)Вывод уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости .

!Общее уравнение плоскости!. Пусть дана плоскость , проходящая через точку М₀, заданную радиус-вектором r₀={x₀;y₀;z₀}, перпендикулярно вектору n={A;B;C}. Проведём радиус-вектор r={x;y;z} в произвольную точку М этой плоскости. Вектор М₀М=r–r₀ лежит в плоскости  и  вектору n(рис.1)их скалярное произведение М₀Мn=0. Выражая скалярное произведение векторов через их координаты, получем: A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

№19.!Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки!. Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть дана плоскость, не параллельная ни одной из координатных осей и отсекающая на осях неравные 0 отрезки: ОМ=а, ON=b, OP=c(рис.1). Уравнение этой плоскости имеет вид: : Ax+By+Cz+D=0; A0, B0, C0, D0. Т.к. М(а;0;0), Aa+B0+C0+D=0A= -D/a. Т.к. N(0;b;0), A0+Bb+C0+D=0B= -D/b. Т.к. P(0;0;c), A0+B0+Cc+D=0C= -D/c. Из : Ax+By+Cz+D=0 следует: –Dx/a–Dy/b–Dz/c+D=0|:(-D); x/a+y/b+z/c=1–уравнение плоскости в отрезках.