Математика. Экзаменационный документ
.doc
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
УТВЕРЖДЕНА
на заседании кафедры высшей
математики (протокол № от декабря 2014 года)
Зав. кафедрой высшей математики
проф. Буслаев А.П.
ПРОГРАММА ПИСЬМЕННОГО ЗАЧЕТА ПО
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИКА
Факультет: ДП
Подготовительные курсы
Форма обучения: очная
Курс 1, семестр 1
Москва 2014 г.
На выполнение письменной зачетной работы по математике отводится 120 минут (2 астрономических часа). Билет состоит из двух теоретических вопросов и двух задач. Задания можно выполнять в любом порядке. Трудоемкость заданий: два теоретических вопроса – по 30 минут, две задачи – по 20 минут. Резерв времени на оформление работы и понимание условий заданий – 20 минут. Зачтенной считается работа, где выполнено не менее половины заданий билета, причем решена хотя бы одна задача. Пересдача зачета проводится по таким же билетам и на тех же условиях. Пересдача зачета комиссии проводится в виде теста, где студенту предлагается 20 заданий с выбором варианта ответов (трудоемкость каждого задания – 5 минут).
ПРОГРАММА
письменного зачета по математике для
слушателей ПК
первый семестр
1. Определители и их свойства.
2. Решение систем линейных уравнений. Правило Крамера.
3. Матрицы, действия над матрицами.
4. Обратная матрица.
5. Ранг матрицы.
6. Решение систем линейных уравнений в матричной форме.
7. Теорема Кронекера-Капелли.
8. Векторы, сложение векторов, умножение вектора на скаляр.
9. Прямоугольная система координат, координаты точки и вектора. Длина вектора.
10. Скалярное произведение векторов. Условие перпендикулярности векторов.
11. Векторное произведение векторов. Условие коллинеарности двух векторов.
12. Смешанное произведение векторов. Условие комплпанарности трех векторов.
13. Деление отрезка в заданном отношении.
14. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости.
15. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
16. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
17. Расстояние от точки до плоскости.
18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
19. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условие коллинеарности и перпендикулярности прямых на плоскости.
20. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.
21. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
22. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
23. Расстояние между двумя прямыми в пространстве..
24. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.
25. Канонические уравнения окружности и эллипса.
26. Канонические уравнения гиперболы и параболы.
27.Определение функции. Способы задания функций.
28. Основные элементарные функции и их графики.
29. Определение предела функции в точке. Свойства пределов.
30. Первый замечательный предел.
31. Второй замечательный предел.
32. Сравнение бесконечно малых.
33. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
34. Определение производной, ее механический и геометрический смысл.
35. Дифференциал функции.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
36. Производные высших порядков.
37. Правило Лопиталя.
38. Возрастание и убывание функции.
39. Максимум и минимум функции. Достаточные условия существования экстремума функции.
40. Выпуклость и вогнутость графика функции.Точки перегиба.
41. Асимптоты графика функции.
42. Общая схема исследования функции и построения графиков.
Типовые задачи
1.
Даны две матрицы А=
и В=
,
найти: А
В,
В
А,
.
2.
Проверить совместность системы уравнений
и в случае совместности решить ее: а) по
формулам Крамера; б) матричным способом
и в) методом Гаусса.
3.
Проверить совместность системы уравнений
и в случае совместности решить ее: а) по
формулам Крамера; б) матричным способом
и в) методом Гаусса.
4.
Решить однородную систему уравнений
.
5.
Решить однородную систему уравнений
.
6.
Даны вершины четырехугольника
.
Вычислить угол
между его диагоналями.
7.
При каком значении
векторы
и
ортогональны?
8.
Найти координаты вектора
,коллинеарного
вектору
,
если известно, что
.
9.
В некотором базисе векторы заданы
координатами
.
Убедиться, что векторы
образуют
базис и найти в нем координаты вектора
.
10.
Найти координаты вектора
, направленного по биссектрисе угла
между векторами
и.
.
11.
Определить координаты концов А и В
отрезка ,который точками
и
разделен на три равные части.
12.
Дано:
,
,
,
вычислить
.
13. Вычислить площадь треугольника АВС и длину высоты, проведенной из вершины В , если А(1,2,0);В(3,0,3);С(5,2,6).
14. Даны вершины пирамиды А(2,0,4);В(0,3,7);С(0,0,6);S(4, 3,5).Вычислить ее объем и длину высоты, проведенную из вершины S.
15. Лежат ли точки А(1,2,-1) ;В(4,1,5); С(-1,2,1) ;D(2,1,3) в одной плоскости?
16.
Найти проекцию вектора
на вектор
,
если А(4,6,3);
В(-5,2,6);С(4,-4,-3).
17. Найти проекцию точки D(1,0,3) на плоскость, проходящую через точки А(1,2,3);В(2,-1,1); С(4,3,2).
18. Найти проекцию точки D(1,0,3) на прямую, проходящую через точки А(1,2,3);В(2,-1,1);
19.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Р(1,0,2) перпендикулярно к
двум плоскостям
.
20.
Составить уравнение плоскости,
параллельной вектору
и отсекающей на координатных осях ОХ и
ОУ отрезки а=3 и в= -2.
21. Найти координаты точки Q,симметричной точке Р(-3,1,-9) относительно плоскости 4х-3у-z-7=0
22. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями
x-2y-2z-12=0 ;x-2y-2z-6=0.
23. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(-1,-2,0) и Р(1,1,2) и перпендикулярной к плоскости х+2у+2z-4=0.
24.
Записать уравнения прямой
в канонической форме.
25.
Написать уравнения прямой, проходящей
через точку М(-1,2,-2) параллельно прямой
.
26.
Найти расстояние от точки М(3,0,4) до
прямой
.
27.
Найти угол между прямой
и
плоскостью 2х+у+z-4=0.
28.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через прямую
и точку Р(3,4,0 ).
29. Найти проекцию точки М(2,3,4) на прямую х = у = z.
30.
Найти кратчайшее расстояние между
прямыми
и
.
31.
Упростить уравнение линии и определить
ее вид:
.
32.
Упростить уравнение линии и определить
ее вид:
.
33.
Упростить уравнение линии и определить
ее вид:
.
34.
Упростить уравнение линии и определить
ее вид:
.
35. Составить уравнение кривой второго порядка, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 0,6.
36.
Установить взаимное расположение прямой
и плоскости и в случае их пересечения
найти координаты точки пересечения:
и
.
37.
Установить взаимное расположение прямой
и плоскости и в случае их пересечения
найти координаты точки пересечения
и
.
38.
Установить взаимное расположение прямой
и
плоскости
и в случае их пересечения найти
координаты точки пересечения.
39.
Найти:
.
40.
Найти:
.
41.
Найти:
.
42.
Найти:
.
43.
Найти:
.
44.
Найти:
.
45.
Найти:
.
46.
Найти:
.
47.
Найти:
.
48.
Найти:
.
49.
Найти:
.
50.
Найти:.
.
51.
Найти:
.
52.
Найти производную функции
,
заданной неявно.
53.
Найти производную функции
,
заданной неявно.
54.
Найти производную от у по х, если
.
55.
Найти производную от у по х ,если
.
56.
Найти производную от функции у по
аргументу х, если
.
57.
Найти производную от функции у по
аргументу х, если
.
58.
Найти производную от функции у по
аргументу х, если
.
59.
Вычислить вторую производную функции
.
60.
Вычислить вторую производную функции
61.
Вычислить вторую производную функции
,заданной
неявно.
62.
Вычислить вторую производную функции
у по х , если
.
63.
С помощью дифференциала вычислить
приближенно
.
64.
С помощью дифференциала вычислить
приближенно
.
65.
С помощью дифференциала вычислить
приближенно
.
66.
Исследовать функцию на непрерывность
и построить ее график, если
67.
Исследовать функцию
на непрерывность в точках
68.
Найти предел, используя правило Лопиталя
:
.
69.
Найти предел, используя правило Лопиталя:
.
70.
Найти предел, используя правило Лопиталя
:
.
71.
Найти предел, используя правило Лопиталя:
.
72.
Найти предел, используя правило Лопиталя:
.
73.
Найти предел, используя правило Лопиталя:
.
74.
Найти предел, используя правило Лопиталя
:
.
75.
Найти наименьшее и наибольшее значение
функции
на отрезке [-1/2; 0].
76.
Провести полное исследование функции
и построить её график.
77.
Провести полное исследование функции
и построить её график.
78.
Провести полное исследование функции
и построить её график.
79.
Провести полное исследование функции
и построить её график.
80.
Провести полное исследование функции
и построить её график.
81.
Провести полное исследование функции
и построить её график.