2.2.2. Нагрузки и напряжения в элементах передач

Равнодействующая F_n всех удельных сил, действующих по линии контакта в плоскости зацепления, приложена в полюсе и действует по нормали к профилю зуба.

Составляющая нормальной силы F_n , которая направлена по касательной к начальным поверхностям элементов зацепления, называется окружной силой F_t. Окружная сила присутствует во всех видах передач вращения.

Составляющая нормальной силы F_n , которая направлена к центру вращения колес передачи называется радиальной силой F_r . Радиальная сила также присутствует во всех видах передач вращения.

Составляющая нормальной силы F_n , которая направлена вдоль оси вращения элементов передачи, называется осевой силой F_х . Осевая сила присутствует во всех видах передач, кроме прямозубой цилиндрической. Схемы сил в передачах, где элементы, входящие в зацепление, имеют эвольвентный профиль показаны на рисунках 2.24 – 2.27.

Схема сил, действующих в цилиндрической передаче показана на рисунке 2.24 .

Рисунок 2.24 – Силы в зацеплении цилиндрических колес с эвольвентным профилем зуба

Окружная составляющая F_tw (Н) нормальной силы F_n (Н) на начальном цилиндре диаметром d_w (мм) равна

F_tw=210³Т/ d_w, (2.76)

где Т - вращающий момент, Нм.

Радиальная составляющая F_r (Н) нормальной силы F_n (Н) равна

F_r= F_twtg _tw , (2.77)

где  _tw угол зацепления передачи  _tw в торцовом сечении.

Осевая составляющая сила F_х (Н ) нормальной силы F_n (Н) равна

F_х = F_tw tg _w, (2.78)

где _w – угол наклона линии зуба на начальном цилиндре.

Нормальная сила F_n (Н) равна

F_n =2Т/(dcos _t cos _b) = F_tw/(cos_tw cos _b), (2.79)

где _b – угол наклона линии зуба на основном цилиндре.

Схема сил, действующих в конической передаче с прямым зубом показана на рисунке 2.25 .

Рисунок 2.25–Силы в зацеплении конических колес с эвольвентным

профилем зуба

Окружная составляющая F_tm (Н) нормальной силы F_n (Н) на среднем диаметре d_m (мм) равна

F_tm=210³Т_m/ d _wm . (2.80)

Радиальная составляющая на среднем диаметре F_rm (Н) нормальной силы F_n (Н)

F_rm= F_tm(tg _wcos ) , (2.81)

где  - угол конусности.

Осевая составляющая на среднем диаметре F_хm (Н ) нормальной силы F_n (Н)

F_хm = F_tm tg _wsin  . (2.82)

Нормальная сила F_nm (Н) на среднем диаметре равна

F_nm =2Т_m/cos _w . (2.83)

Схема сил, действующих в червячной передаче с цидиндрическим червяком показана на рисунке 2.26.

Рисунок 2.26 – Силы в зацеплении червячной передачи

Окружная составляющая F_t2 (Н) нормальной силы F_n (Н) на начальном диаметре колеса d_w2 (мм) равна осевой составляющей F_х1 (Н) нормальной силы F_n (Н) на начальном диаметре червяка d_w1

F_t2= F_х1 =210³Т₂/ d_w2 . (2.84)

Окружная составляющая F_t1 (Н) нормальной силы F_n (Н) на начальном диаметре червяка d_w1 (мм) равна осевой составляющей F_х2 (Н) нормальной силы F_n (Н) на начальном диаметре колеса d_w2

F_t1= F_х2 = F_t2 tg(), (2.85)

где  - угол подъема линии витков червяка;  - угол трения.

Угол трения вычисляют на основании зависимости

tg = f /cos _n= f , (2.86)

где _n - угол в нормальном сечении (tg _n= tg _хсоs ); f и f  - коэффициенты трения.

Нормальная сила в зацеплении F_n (Н) равна

F_n = F_t2 cos  /cos _ncos (). (2.87)

Радиальная составляющая F_r1 (Н) нормальной силы F_n (Н) на начальном диаметре червяка d_w1 (мм) равна радиальной составляющей F_r2 (Н) нормальной силы F_n (Н) на начальном диаметре колеса d_w2

F_r1= F_r2= F_nsin  _n = F_t2tg  _n / соs . (2.88)

Для установления величины усилий в зацеплении планетарных передач всех типов рассматривают равновесие каждого звена под действием внешних нагрузок

Рисунок 2.27 – Силы в планетарной зубчатой передаче:

a) – распределение усилий между колесами; б) – силы в зацеплении

F⁽¹⁾_gа, F⁽²⁾_gа, F⁽³⁾_gа–силы, действующие между сателлитом и центральным колесом а; F_gb – сила, действующая между сателлитом и центральным колесом b; Т_а, Т_h – моменты вращающие на центральном колесе и водиле соответственно; _a,_h – угловые скорости на центральном колесе и водиле соответственно; F_hg – сила, действующая между водилом и сателлитом

Силы в зацеплении сателлита с центральным колесом рассчитывают с учетом коэффициента неравномерности нагрузки К_Н по наиболее нагруженному сателлиту. В расчетах опор сателлитов необходимо учитывать центробежную силу. Радиальные составляющие сил, действующих в передаче, которая имеет несколько сателлитов, не учитывают, т.к. они уравновешивают друг друга. В трехсателлитной передаче (рисунок 2.27) вращающий момент Т_а на центральном колесе а уравновешивается силами F⁽¹⁾_gа, F⁽²⁾_gа, F⁽³⁾_gа

Т_а=r_ba( F⁽¹⁾_gа+F⁽²⁾_gа+F⁽³⁾_gа , (2.89)

где r_ba – радиус основной окружности центрального колеса.

В идеальной передаче силы равны и нормальная сила от сателлита F_gа

F_gа = Т_а/( r_ban_w). (2.90)

В случае передачи с числом сателлитов n_w3 неравномерность распределения нагрузки исключить не удается и это учитывается умножением силы F_gа на коэффициент неравномерного распределения нагрузки К_Н.

Участие сателлита одновременно в двух зацеплениях приводит к тому, что одновенцовый сателлит не передает вращающий момент и находится в равновесии под действием сил F_аg, F_bg и F_hg со стороны колес a, b и водила h соответственно.

Учитывая, что углы зацепления _w одинаковы, из уравнения равновесия получаем

F_hg =2 F_аgК_Нcos _w. (2.91)

Сила F_hg необходима при расчете подшипника сателлита и оси водила. Нормальную силу F_n , приходящуюся на единицу длины контактной линии l, называют удельной нагрузкой

w_m=F_n/l. (2.92)

Рабочая нагрузка равна произведению удельной нагрузки на корректирующие коэффициенты (режим нагружения, неравномерность распределения нагрузки, динамические влияния и т.п.), которые устанавливаются в каждом конкретном случае с учетом принятых критериев работоспособности. В расчетах оценивают нагрузку, которая вызывает наибольшее опасное напряжение для данного вида повреждения.

Нагрузка, возникающая в зоне контакта, может вызывать повреждение поверхности и (или) разрушения структуры материала, из которого изготовлен элемент. Ответственной за напряженно - деформированное состояние контактирующих поверхностей является сила F_n вблизи полюсной линии, которая вызывает контактные напряжения и напряжения изгиба.

Оценку на прочность производят по напряжениям, численная мера которых устанавливается по внешней нагрузке и геометрическим параметрам рассматриваемого элемента.

Контактное напряжение _Н (МПа) в полюсе зацепления равно

_Н =_Н0(К_Н)^1/2, (2.93)

где _Н0 – контактное напряжение без учета дополнительных нагрузок, МПа; К_Н – коэффициент неравномерности распределения нагрузки.

Коэффициент нагрузки К_Н равен

К_Н = К_А К_Нv  К_Н  К_Н, (2.94)

где К_А – коэффициент, учитывающий внешнюю динамическую нагрузку; К_Нv – коэффициент, учитывающий внутреннюю динамическую нагрузку; К_Н – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий; К_Н – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями.

Величину контактного напряжения _Н0 (МПа) в зависимости от: окружного усилия F_t (Н) на делительном цилиндре в торцовом сечении, делительного диаметра d₁ (мм) ведущего элемента, рабочей ширины b_w (мм) венца контактирующих элементов и передаточного числа устанавливают по следующей зависимости

_Н0=Z_EZ_HZ_Z_[F_t(u+1)/(b_wd₁u)]^1/2, (2.95)

где Z_E – коэффициент, учитывающий механические свойства материалов сопряженных зубчатых колес

Z_Е ={E_пр/[(1– ²)]}^1/2 ; (2.96)

Z_H – коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев в полюсе зацепления (влияние радиусов кривизны боковых поверхностей и переход от окружной силы на делительном цилиндре на нормальную на начальном цилиндре)

Z _Н =(1/cos _t)(2cos _b /sin_w)^1/2 ; (2.97)

Z_ – коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий

Z _=(1/_)^1/2; (2.98)

Z_ –коэффициент, учитывающий наклон зуба.

Допускаемое контактное напряжение _НР (МПа) не вызывающее опасной контактной усталости материала при минимальном запасе прочности S_Hmin, равно

_НР =_Нlim Z_LZ_RZ_vZ_wZ_X/S_Hmin, (2.99)

где _Нlim – предел контактной выносливости поверхностей зубьев, соответствующий эквивалентному числу циклов напряжений, МПа; Z_L – коэффициент, учитывающий влияние вязкости смазочного материала; Z_R – коэффициент, учитывающий влияние шероховатости сопряженных поверхностей зубьев; Z_v– коэффициент, учитывающий влияние окружной скорости; Z_w – коэффициент, учитывающий влияние перепада твердостей материалов сопряженных поверхностей зубьев; Z_X – коэффициент, учитывающий размер зубчатого колеса.

Предел контактной выносливости _Нlim (МПа) равен

_Нlim=_Нlimb Z_N, (2.100)

где _Нlimb – предел контактной выносливости, соответствующий базовому числу циклов напряжений, МПа; Z_N – коэффициент долговечности.

Коэффициент долговечности Z_N равен

Z_N =(N_Hlim/N_К)^1/q, (2.101)

где N_Hlim – базовое число циклов перемены напряжений, соответствующее пределу выносливости при контактных напряжениях; N_К – суммарное число циклов напряжений за весь срок службы (при использовании метода эквивалентных циклов вместо N_К подставляют N_НЕ); q – показатель степени кривой выносливости при контактных напряжениях.

Допускаемое предельное контактное напряжение (_НРmax), не вызывающее остаточной деформации или хрупкого разрушения поверхностного слоя равно

_НPmax =_НSt/S_НStmin, (2.102)

где _НSt – предельное контактное напряжение при действии максимальной (пиковой) нагрузки; S_НStmin – минимальный коэффициент запаса прочности по максимальным контактным нагрузкам.

Нагрузочная способность поверхности зубьев обеспечивается при выполнении любого из критериев:

- критерия напряжений

_Н _НP, (2.103)

_Нmax _НРmax; (2.104)

• критерия безопасности

S_Н S_Нmin, (2.105)

S_НSt S_НStmin; (2.106)

- критерия ресурса

N_L N_K, (2.107)

_Нmax _НРmax; (2.108)

- критерия вероятности безотказной работы

Р_Н(N_L N_K)Р_Нmin, (2.109)

Р_НSt(_НSt_Нmax) Р_НStmin. (2.110)

В этих формулах S_Н – расчетный коэффициент запаса прочности для предотвращения опасной контактной усталости; S_НSt – расчетный коэффициент запаса прочности для предотвращения опасных разрушений поверхностного слоя при максимальной нагрузке; _Нmax – максимальное контактное напряжение за весь срок службы; N_L – число циклов напряжений в соответствии с расчетным сроком службы; N_K– число циклов напряжений в соответствии с заданным сроком службы; Р_Н – вероятность безотказной работы в течении заданного срока службы; Р_Нmin – минимальное регламентированное значение Р_Н; Р_НSt – вероятность безотказной работы при расчете по максимальным контактным нагрузкам; Р_НStmin – минимальное регламентированное значение Р_НSt

Напряжение изгиба _F (МПа) в опасном сечении на переходной поверхности контактирующих элементов в зависимости от окружной силы F_t (Н) на делительном диаметре (в торцовом сечении), ширины b_w венца зубчатого колеса и нормального

модуля m_n устанавливают по следующей формуле

_F = F_tK _FY_FSY_Y_/(b_wm_n), (2.111)

где Y_FS – коэффициент, учитывающий форму зуба и концентрацию напряжений (зависит от количества зубьев на колесе и величины смещения инструмента при нарезании зуба); Y _ – коэффициент, учитывающий влияние угла наклона зуба; Y_ – коэффициент, учитывающий влияния перекрытия зубьев; K _F – коэффициент нагрузки.

Коэффициент нагрузки равен

K _F = К_А К_Fv  К_F  К_F, (2.112)

где К_А – коэффициент, учитывающий внешнюю динамическую нагрузку; К_Fv – коэффициент, учитывающий внутреннюю динамическую нагрузку; К_F – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий; К_F – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями.

Допускаемое напряжение изгиба _FР (МПа) на переходной поверхности, не вызывающее усталостного разрушения материала при минимальном коэффициенте запаса прочности S_Fmin равно

_FР =_FlimbY_NY_RY_XY_/S_Fmin, (2.113)

где _Flimb – предел выносливости зубьев при изгибе, МПа; Y_N – коэффициент долговечности; Y_R – коэффициент, учитывающий влияние шероховатости переходной поверхности; Y_X – коэффициент, учитывающий размер колеса; Y_ –коэффициент, учитывающий чувствительность материала к концентрации напряжений и градиенту напряжений (опорный коэффициент).

Предел выносливости зубьев при изгибе _Flimb равен

_Flimb =⁰_FlimbК, (2.114)

где ⁰_Flimb – предел выносливости зубьев при изгибе, соответствующий базовому числу циклов напряжений, МПа; К – коэффициент, учитывающий технологию изготовления, способ получения заготовки, влияние шлифования, деформационного упрочнения и реверсивность (при одностороннем приложении нагрузки К1).

Коэффициент долговечности Y_N равен

Y_N =(N_Flim/N_К)^1/q, (2.115)

где N_Fhlim – базовое число циклов перемены напряжений, соответствующее пределу выносливости материала при изгибе; N_К – суммарное число циклов напряжений за весь срок службы (при использовании метода эквивалентных циклов вместо N_К подставляют N_FЕ).

Фактические значения контактных напряжений и напряжений изгиба не должны превышать допускаемых величин, что является основанием для установления геометрических параметров передачи.

Проектный расчет закрытых передач ведут по допускаемым контактным напряжениям с последующей проверкой по напряжениям изгиба.

Расчет открытых передач производят по допускаемым напряжениям с последующей проверкой по контактным напряжениям

Допускаемое напряжение изгиба в опасном сечении (_Fрmax), не вызывающее остаточной деформации, хрупкого излома или первичных трещин равно

_Fpmax =(_FSt/S_Fstmin)(Y_St/Y_StT), (2.116)

где _FSt – предельное напряжение изгиба при действии максимальной нагрузке; S_Fstmin – минимальный коэффициент запаса прочности по максимальным нагрузкам; Y_St – опорный коэффициент при максимальной нагрузке; Y_StT – опорный коэффициент испытываемого зубчатого колеса при максимальной нагрузке.

Нагрузочная способность зуба при изгибе обеспечивается при выполнении любого из критериев:

- критерия напряжений

_F _FP, (2.117)

_Fmax _Fрmax; (2.118)

- критерия безопасности

S_F S_Fmin, (2.119)

S_FSt S_FStmin; (2.120)

- критерия ресурса

N_L N_K, (2.121)

_Fmax _FРmax; (2.122)

- критерия вероятности безотказной работы

Р_F(N_L N_K)Р_Fmin, (2.123)

Р_FSt(_FSt_Fmax) Р_FStmin. (2.124)

В этих формулах S_F – расчетный коэффициент запаса прочности для предотвращения усталостного разрушения материала; S_FSt – расчетный коэффициент запаса прочности для предотвращения опасных повреждений при максимальной нагрузке; _Fmax – максимальное местное напряжение от изгиба в опасном сечении за весь срок службы; N_L – число циклов напряжений в соответствии с расчетным сроком службы; N_K – число циклов напряжений в соответствии с заданным сроком службы;

Р_F – вероятность отсутствия повреждений в течении заданного срока службы; F_Нmin – минимальное регламентированное значение Р_F; Р_FSt – вероятность отсутствия хрупкого излома или остаточной деформации при максимальной нагрузке; Р_FStmin – минимальное регламентированное значение Р_FSt