- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Теория автоматического управления
- •Введение
- •Глава 1. Уравнения, элементарные блоки, структурные схемы и переходные процессы в сау
- •. Уравнения сау
- •1.2. Передаточные функции
- •1.3. Переходная и импульсная переходная функции. Показатели качества переходного процесса
- •1.4. Элементарные звенья
- •1.5. Структурные схемы сау и правила их преобразования
- •Глава 2. Обоснование метода передаточных функций для исследования сау
- •2.1. Преобразование Лапласа
- •2.2. Основные теоремы операционного исчисления
- •2.3. Реакция сау на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля
- •Глава 3. Частотные характеристики сау
- •3.1. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
- •Логарифмические частотные характеристики
- •3.3. Частотные характеристики элементарных звеньев
- •Глава 4. Устойчивость сау
- •Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
- •4.2. Частотный критерий устойчивости Михайлова.
- •4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •4.3.1. Критерий асимптотической устойчивости замкнутой системы, содержащей лишь устойчивые звенья
- •4.3.2. Применение критерия Найквиста к системам с нейтральными звеньями
- •4.3.3 Применение критерия Найквиста к системам с неустойчивыми звеньями
- •4.4 Метод d – разбиения
- •4.4.1 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от одного параметра
- •4.4.2 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от двух параметров
- •Приложение 1. Задачи
- •1. Динамические и частотные характеристики сау
- •Литература
Глава 2. Обоснование метода передаточных функций для исследования сау
В предыдущей главе формальная замена операции дифференцирования степенью некоторого символа p позволила ввести понятие передаточной функции САУ, которая представляла собой дробно рациональную функцию символа p. В этой главе будут даны обоснования такого формального подхода и интерпретация передаточной функции САУ. Кроме того на языке “MatLab” приведены простые алгоритмы вычислений переходной и импульсной переходной функции САУ по ее передаточной функции.
2.1. Преобразование Лапласа
Рассмотрим класс функций таких, что
|g(t)| gmax e t , gmax > 0 , > 0 , t [0, ) .
Эти функции называются функциями экспоненциального типа. В частности, ими служат экспонента, тригонометрические функции, полиномиальные дробно-рациональные функции, а также суммы и произведения этих функций. Поставим в соответствие функцию комплексного переменного по следующему правилу:
.
Интеграл существует если , Функция называется преобразованием Лапласа функции ; называют оригиналом, а - изображением.
Обратное преобразование Лапласа определяется формулой
;
при этом полюсы функции лежат левее прямой интегрирования. Заметим что вычисление интеграла осуществляется при помощи теории вычетов [7].
Пусть а - вещественные числа, тогда - т.е. преобразование Лапласа определяет линейный оператор.
Для вычисления изображений по Лапласу различных функции используется , а результаты сводятся в специальные таблицы [8,c.235]. Например,
С помощью и правил интегрирования по частям находим
;
Заметим, что все функции определены при t>0, а при равны нулю. Соотношения замечательны тем, что операции дифференцирования и интегрирования в области оригиналов сводятся в области изображений к алгебраическим операциям умножения и деления над полиномами от p.
Продемонстрируем метод решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа на примере следующего уравнения
Обозначим и найдем с помощью преобразование Лапласа левой и правой частей уравнения ; В результате получим
Обратное преобразование Лапласа левой и правой частей соотношения с учетом дает решение исходного дифференциального уравнения
2.2. Основные теоремы операционного исчисления
Докажем некоторые теоремы, результатами которых можно пользоваться для исследования свойств САУ.
Теорема о смещении. Пусть и при тогда
Доказательство. Пользуясь определением , запишем цепочку равенств
Теорема об установившемся значении. Пусть и существует ; тогда
.
Доказательство: Запишем изображение производной , пользуясь определением и формулами ,
;
откуда получаем
.
Перейдем в к пределу при , в результате имеем
.
Поэтому .
Теорема о начальном значении. Пусть , тогда
.
Для доказательства достаточно перейти в к пределу при .
Теорема о свертке функций. Пусть и при ; тогда
.
Интегралы в формуле называются сверткой функций .
Упражнение 4. Доказать теорему о свертке функций воспользовавшись тем, что при .
Из следует, что умножению функций в области изображений соответствует свертка функций в области оригиналов. Этой формулой можно пользоваться для вычисления обратного преобразования Лапласа от произведения двух дробно-рациональных функций, если переписать ее в виде:
.
Для примера найдем оригинал от произведения , воспользовавшись формулами (2.3), (2.12)