1.2. Передаточные функции

Операцию дифференцирования по времени t обозначим буквой p. Введем следующие символические значения производных:

.

Аналогичные обозначения введем и для производных сигнала u. При этом уравнение может быть представлено в форме:

.

Формально вынося х, u за скобки найдем:

.

Таким образом, выходной сигнал х блока САУ на рис. 1.2 равен произведению дробно рациональной функции оператора дифференцирования р на входной сигнал u. Дробно-рациональная функция

Рис. 1.3 Блок САУ

называется передаточной функцией блока. При этом блок САУ обычно изображают так как показано на рис. 1.3.

Замечание. Ввод оператора дифференцирования р и формальное дифференциальных уравнений к алгебре полиномов и дробно-рациональных функций от р будут обоснованы в следующей главе с помощью преобразования Лапласа. Пока лишь можно утверждать, что между дифференциальным уравнением и символической записью существует взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим установившийся режим дифференциального уравнения : . При этом отношение выходного сигнала к входному имеет вид:

.

Число называется коэффициентом передачи в установившемся режиме.

Согласно теории дифференциальных уравнений, уравнение

представляет собой характеристическое уравнение для .

1.3. Переходная и импульсная переходная функции. Показатели качества переходного процесса

Свойства САУ можно определить путем изучения ее реакции на различные типы внешних воздействий. Рассмотрим три типа внешних воздействий u(t), которые называются: единичное воздействие 1(t); дельта функция (t); вибрация cos(t), sin(t) или . Реакция САУ на вибрацию будет изучена в третьей главе.

Единичным воздействием 1(t) называется ступенчатая функция, при равная нулю, а при – единице. Реакция САУ на единичное воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях называется переходной функцией САУ и обозначается h₁(t).

Дельта-функция (t) равна нулю везде, кроме точки t=0, где она принимает значение ; при этом:

.

Рис. 1.4. Приближенное представление дельта функции

Приближенное изображение дельта-функции представляет собой узкий импульс ширины и высоты , так что площадь внутри этого импульса равна единице (рис. 1.4). При этом можно считать, что .

Дельта-функция не является функцией в обычном понимании, а представляет собой функционал, который обычно определяется на множестве финитных функций. Дельта-функция принадлежит классу обобщенных функций и подробно здесь не обсуждается.

Реакция САУ на дельта-функцию (t) при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной функцией САУ и обозначается . Можно показать, что функции связаны соотношением

,

где точкой обозначено дифференцирование по времени t.

Заметим что в механике единичное воздействие соответствует постоянному возмущению (постоянной силе или постоянному моменту), а дельта-функция описывает кратковременные ударные воздействия.

Для нахождения функций следует решать дифференциальное уравнение вида полагая в правой части u(t) равным 1(t) или (t), при нулевых начальных условиях x(0)=0, x⁽¹⁾(0)=0,…, x^(n-1)(0)=0. Определение этих функций по передаточной функции f(p) посредством преобразования Лапласа описано во второй главе и может быть легко алгоритмизировано с помощью прикладного пакета "MatLab".

Переходным процессом САУ называется ее реакция на некоторое внешнее возмущение, характерное для условий функционирования данной САУ. Как правило, переходным процессом САУ служит ее реакция на единичное воздействие 1(t) или дельта функцию (t). Например. Если механическая система подвержена постоянно действующему возмущению, то переходным процессом для нее будет переходная функция . В случае, если на механическую систему воздействуют кратковременными ударными нагрузками. То в качестве переходного процесса естественней считать импульсную переходную функцию .

На рис. 1.5 приведен характерный тип переходного процесса в САУ.

Рис. 1.5. Показатели качества переходного процесса

Переходный процесс определяется следующими основными параметрами:

- установившееся значение переходного процесса;

– время регулирования (время переходного процесса);

– допустимое отклонение;

– перерегулирование (

Установившееся значение определяет предел, к которому переходный процесс стремится с течением времени.

Время регулирования характеризует время, по истечении которого переходный процесс входит в – окрестность установившегося значения . Естественно, время регулирования зависит от величины допустимого отклонения , задаваемого разработчиком САУ. Если , то характеризует точность приближения к установившемуся значению (обычно выбирают ); если , то определяет степень отклонения переходного процесса от нуля.

Перерегулирование П характеризует степень максимального отклонения САУ от установившегося значения (если , то перерегулированием можно считать ).

Примеры расчета показателей качества переходных процессов для простых САУ приведены в следующем разделе.