- •1.Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.
- •2.Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї.
- •3.Довести теореми (формула повної імовірності та формули Байєса.
- •4.Дискретні випадкові величини - двв. Закони розподілу ймовірностей для двв. Дії над двв
- •5.Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості. Довести (на вибір) три з них.
- •6.Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Довести 3 з них на вибір. Середнє квадратичне відхилення.
- •8.Неперервні випадкові величини - нвв. Означення інтегральної функції розподілу та доведення її властивостей.
- •9.Означення диференціальної функції розподілу (щільності розподілу ймовірностей) та доведення її властивостей.
- •10.Означення нормального закону розподілу. Вивести формулу для імовірності попадання значень нормально розподіленої вв до заданого проміжку, наслідок. Правило «трьох сигм».
- •11.Закон показникового розподілу, або показниковий закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для показникового закону. Мс та дисперсія для показникового закону.
- •12.Закон рівномірного розподілу, або рівномірний закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для рівномірного розподілу ймовірностей. Мс та дисперсія для показникового закону.
- •13.Центральна гранична теорема.Муавр Лаплас
- •16.Корелят момент.Коефициент кореляції
- •17.Функц, статистична,та корелят залежності..
- •18.Коефіцієнт детермінації (r2)
- •1.Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.
- •2.Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї.
13.Центральна гранична теорема.Муавр Лаплас
Центральна гранична теорема.
Для послідовності випадкових величин 1) розглянемо:
Теорема 1. Якщо випадкові величини в послідовності (1) незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то
(2)
тобто граничним розподілом для є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ Х=m – частоти появи події А з імовірністю р в серії із n НПВ справедлива наближена формула:
P(m1≤m≤m2)≈Ф(t2) – Ф(t1),
де Ф(t) – інтегральна функція Лапласа,
;
Частинні випадки Муавра-Лапласа. Для частоти m та частості m/n появи події A з імовірністю p в серії із n НПВ справедливі наближені формули:
14.Формула Бернуллі. Біноміальний закон розподілу ймовірностей (закон Бернуллі). Найімовірніша частота (мода) настання події. Локальна теорема Лапласа. Формула Пуассона. Закон рідкісних подій (закон Пуасона).
Теорема. Нехай проводиться НПВ за схемою Бернуллі і ймовірність появи події в кожному із випробувань незмінна (ймовірність непояви події в кожному із випробувань ). Тоді імовірність того, що подія з’явиться разів у НПВ знаходиться за формулою Бернуллі: .
Доведення: P(X=m)=Pm,n=Cmn*pm*qn-m, Cmn=n!/(m!(n-m)).
Pn(X=m)=CmnP(A*A…*A*A*A*…*A)=за т.добутку=Cmnp*p*…*p*q*q*…*q=Cmnpmqn-m(кількість таких комбінацій).
Біноміальным законом розподілу ДВВ (закон Бернуллі) називають ДВВ - частоту появи події у НПВ.
Найімовірнішою частотою (або модою) появи події у НПВ називають частоту, для якої . Подвійну нерівність для визначення найімовірнішої частоти: .
Теорема (локальна формула Муавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі із НПВ імовірність появи події дорівнює ( ), а кількість НПВ досить велика, то імовірність появи події разів у НПВ наближено дорівнює (тим точніше, чим більше ):
, де - функція Гауса, а .
Формула Пуассона: . При виконанні умов теореми Пуассона ВВ ( яка приймає нескінченну злічену множину значень , а відповідні імовірності знаходяться за формулою , де ) називають розподіленою за законом Пуассона ( закон рідкісних подій).
15.Критерій узгодженості Пірсона. Критерій узгодженості Пірсона є випадковою величиною, що має розподіл , який визначається за формулою і має k = q – m – 1 ступенів свободи, де q — число часткових інтервалів інтервального статистичного розподілу вибірки; m — число параметрів, якими визначається закон розподілу ймовірностей генеральної сукупності згідно з нульовою гіпотезою. Так, наприклад, для закону Пуассона, який характеризується одним параметром , m = 1, для нормального закону m = 2, оскільки цей закон визначається двома параметрами i . Якщо (усі емпіричні частоти збігаються з теоретичними), то , у противному разі . Визначивши при заданому рівні значущості і числу ступенів свободи критичну точку , за таблицею (додаток 8) будується правобічна критична область. Якщо виявиться, що спостережуване значення критерію , то Н0 про закон розподілу ознаки генеральної сукупності відхиляється. У противному разі Н0 приймається.