8.Неперервні випадкові величини - нвв. Означення інтегральної функції розподілу та доведення її властивостей.

Інтегральною функцією розподілу ВВ називається імовірність того, що ВВ прийме значення, менше від числа , тобто

.

ВВ називається неперервною (НВВ), якщо її інтегральна функція неперервна.

ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ.

Всюди надалі вважається, що інтегральна функція визначена .

1. Значення функції належать проміжку , тобто , причому

Доведення. Дійсно, оскільки F(x)=імовірності деякої події для якої справедлива основна властивість.

F(-∞)=P(x<-∞)=0; F(+∞)=P(x<+∞)=1

2. Функція є неспадною, тобто

Доведення.

F(x₂)- F(x₁)≥0; P(x<x₂)-P(x<x₁)≥0; P(x<x₁+x₁≤x<x₂)-P(x<x₁)≥0, де x₁+x₁ несумісні за т.несумісності. P(x<x₁)+P(x₁ ≤x<x₂)- P(x<x₁)≥0

P(x₁ ≤x<x₂)≥0 осн.властивість імовірності події

Наслідок ( основна формула теорії ймовірностей) :

, x Є [x₁;x₂)

3. Імовірність того, що НВВ прийме деяке окреме значення дорівнює нулю, тобто .

Доведення. P(x=x₁)= lim P(x₁≤x<x₁+∆x)=за наслідком неперерв.(осн.формула)= lim[F(X1+∆X)-F(X1)]= lim∆F(X1)=за одним із означень неперервності=0

9.Означення диференціальної функції розподілу (щільності розподілу ймовірностей) та доведення її властивостей.

Щільністю розподілу ймовірностей називається похідна (якщо вона існує) від інтегральної функції розподілу. Щільність розподілу ймовірностей також називають диференціальною функцією розподілу.

φ(х)=F’(x)=lim = .

φ(х)= => dF= φ(х)*dX, тобто щільність на довжину проміжку.

≈ φ(х)*

За основною формулою теорії імовірності Р(х≤Х≤х+ )

У ДВВ щільності нема. Диференціальна функція обов’язково неперервна.

Властивості диференціальної функції:

1. Щільність розподілу ймовірностей – невід’ємна функція, тобто φ(х)≥0.

Доведення. Теорема про критерій монотонності говорить, що для того, щоб функція була неспадною необхідно і достатньо, щоб її похідна була невід’ємною. F(x) – неспадна  F’=φ=0.

2.Основна формула теорії імовірності: імовірність того, що НВВ Х прийме значення із деякого проміжка (a;b) знаходиться за формулою:

P(a<X<b)= .

Доведення. За теоремою Ньютона-Лейбніца: оскільки F’=φ=>F є первісна для φ.

За теоремою: = F(x)|ab=F(b)-F(a)=за основною формулою теорії імовірності = P(a<X<b), де Х - НВВ.

3.Інтегральна функція розподілу та диференціальна (щільність розподілу ймовірностей) є еквівалентними узагальненими характеристиками НВВ, які пов’язані співвідношенням: F(x)= .

Доведення. ( )’ = похідна від інтеграла зі змінною верхнею межею = φ(х)=F’(x).

4. Умова нормування закону розподілу НВВ має вигляд: = 1.

Доведення. = lim = lim(F(b)-F(a))=F(+8)-F(-8)=за властивістю F= 1-0=1.