10.Означення нормального закону розподілу. Вивести формулу для імовірності попадання значень нормально розподіленої вв до заданого проміжку, наслідок. Правило «трьох сигм».

НВВ розподілена за нормальним законом з параметрами а та δ>0, при чому ХєN(a;b), якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд:

φ(х)= . Числові характеристики: M(X)=a, D(X)=δ² і δ(Х)= δ.

Імовірність попадання значень нормально розподіленої ВВ Х до проміжку [x₁;x₂] знаходиться за формулою:

P(x₁≤X≤x₂)=Ф((x₂-а)/σ) - Ф((x₁-а)/σ).

Доведення. P(x₁≤X≤x₂)=F(x2)-F(x1)= виразимо F через інтегральну функцію Лапласа = ½ +Ф((x₂-а)/σ) – [1/2 + Ф((x₁-а)/σ)]= Ф((x₂-а)/σ) - Ф((x₁-а)/σ).

Наслідок. Імовірність того, що модуль відхилення нормально розподіленої ВВ Х від свого математичного сподівання не перевищить величину ε>0, дорівнює: P(|X-a|≤ε)=2Ф(ε/σ).

Доведення. P(|X-a|≤ε)= розкриємо модуль = P(a-ε<X<a+ε)= за формулою імовірності попадання значень нормально розподіленої ВВ Х = Ф((а+ε-а)/σ)-Ф((а-ε-а)/σ) = Ф(ε/σ) + Ф(ε/σ)= 2Ф(ε/σ).

Правило «трьох сигм». Із практичною достовірністю (з імовірністю 0,9973) можна стверджувати, що значення нормально розподіленої ВВ Х попадають до проміжка:

[a-3σ;a+3σ].

Доведення. Використовуючи наслідок, можна стверджувати, що при ε=3σ, Р[a-3σ;a+3σ] = 2Ф(3σ/σ)=2Ф(3)=0,9973.

11.Закон показникового розподілу, або показниковий закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для показникового закону. Мс та дисперсія для показникового закону.

НВВ Х називається розподіленою за показниковим законом з параметром λ>0, якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд:

φ(х)=

Інтегральна функція розподілу для НВВ Х, що розподілена за показниковим розподілом, має вигляд:

F(x)=

Числові характеристики обчислюються за формулами:

1. M(X)=1/λ

2. D(X)=1/λ²

3. σ(X)= 1/λ

12.Закон рівномірного розподілу, або рівномірний закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для рівномірного розподілу ймовірностей. Мс та дисперсія для показникового закону.

НВВ Х називається рівномірно розподіленою на проміжку [a;b], якщо щільність розподілу ймовірностей стала на цьому проміжку, а поза цим проміжком дорівнює 0, тобто:

φ(х)=

Щільність рівномірно розподіленої ВВ має вигляд:

φ(х)=

Функція розподілу рівномірно розподіленої НВВ Х:

F(x)=

Числові характеристики:

1. М(Х)=(a+b)/2.

Доведення. М(Х)= = розіб’ємо на окремі інтеграли = = 1/(b-a)*x²/2|ab=

1/(b-a)* = (b+a)/2=(a+b)/2 – середина (центр розподілу).

2. D(X)=(b-a)²/12

Доведення. D(X)= = розіб’ємо на окремі інтеграли = + = 1(b-a)*x³/3|ab – (a+b)²/4 = 1/(b-a)*(b³-a³)/3 – (a+b)²/4 = (b²+ab+a²)/3 – (a²+2ab+b²)/4 = (b²-2ab+a²)/12 = (b-a)²/12.

3. σ(X)= .