1.Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.

Імовірність події А дорівнює: , де п – число (кількість) подій у просторі елементарних подій, а т – число наслідків, які сприяють появі події А.

Властивості:

• Ддля довільної події А: ;

• Ддля достовірної події U: P(U)=1;

• Ддля неможливої події V: P(V)=0.

Імовірність добутку двох подій А і В дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, при умові, що настала перша подія: Доведення: Нехай п – кількість подій у просторі елементарних подій, з яких к подій сприяють появі АВ, т – сприяють появі А, а l – сприяють появі В.

За класичним означенням імовірності:

Наслідок 1. Якщо імовірність подій відмінні від нуля, то:

Наслідок 2. Якщо подія А не залежить від події В, то і навпаки, подія В не залежить від події А, тобто вони взаємно незалежні.

Наслідок 3. Із незалежності подій А і В випливає незалежність пар подій: і , і , і .

Наслідок 4. Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей:

2.Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї.

Теорема: Імовірність суми двох подій А і В дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх добутку. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Доведення: Для доведення скористуємось діаграмою теореми добутку. За класичним означення:

Наслідок 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей:

Наслідок 2. Сума імовірностей подій _{, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:}

_{Доведення: - повна група (U-достовірна подія), несумісні. = за наслідком 1= (достовірність)}

_{Наслідок 3. Для взаємно протилежних подій А і :}

_{, ,}

Доведення випливає із попереднього наслідка 2:

_{Наслідок 4. Імовірність появи хоча б однієї із подій дорівнює:}

_{Доведення: За наслідком 3 жодна із подій не настане =}

3.Довести теореми (формула повної імовірності та формули Байєса.

Формула повної імовірності. Нехай подія А може настати лише сумісно з хоча б однією із подій-гіпотез , які утворюють повну групу. Тоді імовірність (повна імовірність) події А дорівнює: тобто сумі добутків імовірностей гіпотез на умові ймовірності події, при умові, що настала відповідна гіпотеза.

Доведення:

= за теоремою суми =

Теорема Байєса. Нехай подія А може настати лише сумісно з хоча б однією із подій-гіпотез , які утворюють повну групу. Якщо подія А настала, то умовні (уточнені) імовірності гіпотез дорівнюють:

де повна імовірність

Доведення. Зазначимо, що виконуються усі умови теореми – формули повної ймовірності. Розглянемо одну із подій і скористуємось теоремою добутку: . Звідси: , де Р(А) – повна імовірність.

4.Дискретні випадкові величини - двв. Закони розподілу ймовірностей для двв. Дії над двв

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір  дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.

Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістане­мо многокутник розподілу ймовірностей).