1.Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій : P(A)= m /n.
Класичне означення ймовірності.
Класичне
означення ймовірності зводить поняття
ймовірності до поняття рівноможливості
елементарних подій, яке вважається
таким, що не має формального означення.
Нехай
складається
з n
елементарних подій
,
а подія А визначається
m
елементарними несумісними рівноможливими
подіями. Тоді
,
тобто ймовірністю випадкової події А називається відношення числа елементарних подій (спроб) m , сприятливих події А, до кількості всіх можливих елементарних подій (числа спроб) n в даному експерименті.
При
цьому сам експеримент не проводиться,
а кожна елементарна рівноможлива подія
розглядається
як така, що відбувається з ймовірністю
.
Простір елементарних подій вважається
скінченним.
Основні властивості ймовірності:
.
,
.
.
(Ø)=0.
Повернемось знову до прикладу 2. Якщо
подія А:”герб з’явиться принаймні один
раз”, то сприятливими для неї будуть
три елементарні події. Всього в даному
експерименті може реалізуватися чотири
елементарні події. Отже,
.
В більш складних випадках для обчислення ймовірності використовують методи комбінаторики.
2.Геометриною ймовірністю Р(А) події А називається відношення міри m(А) до міри m(), тобто :
Р(А)= m(А)/ m().
Отже, формула є узагальненням класичної формули для випалку незліченної множини елементарних подій.
Зауваження: За класичного означення ймовірності, Р(А)=0 лише для А=(порожна множина). За геоментричного означення це не так. Справіді , нехай - плоска фігура, А – точка або лінія, що розміщена в .Тоді за формулою Р(А)= m(А)/ m() Р(А)=0, хоча подія А є можливою – точка в разі її «кидання» на може потрапити на А.
3. Теорема додавання сумісних подій
Сумою 2-х сумісних подій називають подію, що складається з появи або події A, або події B, або обох їх одразу (одночасно).
Теорема. Імовірність суми 2-х сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без урахування їх спільної появи:
p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)
Доведення:
A+B=AB+AB+AB (сума несумісних пар)
Тоді p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)
Подія A=AB+AB,
Подія B=AB+AB
p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)
Заувага: в цій теоремі може існувати 2 різні ситуації.
p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B), де A і B - незалежні;
p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B/A), де A і B - залежні;
(Теорема 1. Імовірність появи однієї з двох несумісних по-дій А і В, байдуже якої, дорівнює сумі імовірностей цих подій: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (2.1.1). Наслідок. Імовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій АhА2 ..А„, дорівнює сумі імовірностей цих подій: Р(АІ+ А2 + ... + А„) = Р(Аг) + Р(А2) + ... + Р(А„) (2.1.2). Теорема 2. Сума імовірностей подій Аи А2, ... А„, що утво-рюють повну групу, дорівнює одиниці: Р(А\) + Р(А2) + ... + + Р(А„) = 1 (2.1.3). Протилежними називають дві єдиноможливі події, що утворюють повну групу. Якщо одну з протилежних подій по- значити через А, то другу подію позначають як A .)
Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи
4.Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!
Розміщенням із n елементів по m
(0
m
n)
називаються такі впорядковані множини,
кожна із яких містить m
елементів і які відрізняються між собою
порядком розташування цих елементів
або хоча б одним елементом:
=
n!
/(n-m)!
Комбінаціями з n елементів по m
(0
m
n)
називаються такі множини з m
елементів, які різняться між собою хоча
б одним елементом:
=
n!
/ m!(n-m)!
5.Сумісні і не сумісні події.Події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто
А
В
Ø.
Наприклад, нехай подія А: “поява туза при вийманні карти з однієї колоди”, подія В: “поява туза при вийманні карти з іншої колоди”. Ці події сумісні.
Події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто
А В= Ø.
Наприклад, нехай подія А: “неробочий хід генератора”, подія В: “коротке замикання генератора”. Ці події несумісні.
6. Що таке частота (відносна) деякої події у серії випробувань. Властивості частоти.
Відносна частота події А -
це таке відношення:
,
де 
-
кількість разів, коли подія А відбулася,
а 
-
загальна кількість експериментів.
Властивості частоти:
за
умови, що А і В несумісні
Статистичне (частотне) означення імовірності
Статистична імовірність
події А - це така границя
,
тобто це фактично границя відносної
частоти, коли кількість експериментів
прямує до нескінченності.