2. Возникновение понятия числа.

Начальные представления о числе возникли в глубокой древности в результате обобщения многовекового практического опыта. Число не изобретено кем-то, это не под силу самой гениальной личности. В этом нет заслуги и какой-то отдельной расы. Число возникло всюду, где жили люди. При этом пути формирования понятия числа у разных народов были весьма разнообразны. Вместе с тем выделяются общие этапы процесса формирования этого понятия.

Первая ступень возникновения числовых представлений состоит в восприятии человеком свойства численности или количественности конкретных совокупностей предметов. Вначале множество предметов характеризовалось со стороны его целостности, т.е. все ли предметы находятся налицо. Когда первобытный охотник отправлялся на охоту, ему нужно было выяснить, все ли у него собаки. При этом ему достаточно было охватить их взглядом так же, как поступают и все животные, например, клуша с цыплятами. Такой счет называют чувственным.

Процесс отвлечения количества от других свойств конкретных множеств занял весьма длинный исторический период. С переходом людей на более высокий уровень развития чувственный счет оказался недостаточным. Появилась необходимость сравнивать множества поэлементно, сопоставляя их численность, например, в ходе операций обмена. Так, американский этнограф Дж. Морган (ХIХ в.) описал, как происходил обмен товарами на рынке. Например, коренья менялись на угрей:

- коренья: ! ! ! ! ! ! ! ! (V V V V V V V V - угри)

Неравночисленность предметов в используемых множествах привела к понятиям «больше» и «меньше».

Затем постепенно появляются множества, играющие роль эталонов при сопоставлениях. Числовая характеристика множеств выделяется и преобразуется в объект самостоятельного рассмотрения. Каждый человек знает, что в небе одна луна, у человека две руки, пять пальцев на одной руке и т.д. Поэтому именно этими словами люди стали обозначать числа 1, 2 и 5. Например, в древнеиндийской системе счисления: один - Луна (Земля); два – глаза, близнецы, руки; пять – пальцы, чувства и т.д.

Субстрактивный принцип состоит в том, что сочетание цифр mn, где m <n, означает разность n-m. Например, в римской нумерации запись IV означает разность V - 1, т.е. число 4; запись IХ означает разность Х – 1, т.е. число 9.

Мультипликативный принцип состоит в том, что сочетание цифр mn означает произведение чисел mхn. На мультипликативном принципе основано название десятков и сотен в русском языке: 20,30,50,60,70,80,200, 300 и т.д. до 900.

3.Система счисления и вычислительная техника египтян.

Источники по истории египетской математики.

О математических знаниях народов Древнего Египта судят, в основном, по двум дошедшим до нашего времени текстам древнеегипетской математики. Этими текстами являются два папируса: Московский и папирус Райнда. Московский свиток содержит более 20 задач и примеров. Папирус Райнда содержит около 80 задач и примеров. Оба папируса относятся примерно к одному времени – эпохе Среднего царства, т.е. ХХ1-ХVIII вв. до н.э.

Система счисления

Египтяне пользовались десятичной системой счисления, но она не была позиционной. Числа записывались иероглифами. При этом специальные обозначения имели лишь числа вида 10ⁿ, где n {0,1,2,3,4,5,6,7}:

1 = I- мерная палка; 10 =  - путы для стреноживания коров; 10² = - веревка для обмера полей;

1 0³ = цветок лотоса; 10⁴ =  - указательный палец; 10⁵ = лягушка; 10⁶ = -удивленный человек; 10⁷ = Солнце.

Для записи других чисел египтяне использовали аддитивный принцип. Например, 432 = II/ Для обозначения дробей египтяне использовали три специальных символа:  = 1/2, = 2/3, x = 1/4.

Д оли единицы называют аликвотными дробями. Всякая другая аликвотная дробь вида 1/n записывалась теми же знаками, что и число n, только над ним ставился знак ( рот – «часть»). Например: 1/3 = , 1/10 = , 1/25 = . Другие дробные числа записывались в виде суммы целого числа и аликвотных дробей. Например:

Вычислительная техника Техника сложения и вычитания египтян в папирусах не отражена. Но способ записи чисел позволяет сделать предположение, что при сложении одинаковые символы объединялись, а затем осуществлялся переход к другим разрядам. Например, сложим 87 и 43:

IIIIIII

III

IIIIIIIIII

Умножение на целое число и деление без остатка они фактически сводили к последовательному удваиванию и сложению. При этом один из множителей представлялся в виде суммы степеней числа 2: 1, 2, 4, 8,16,32 … Ясно, что любое натуральное число можно представить суммой чисел этого ряда. Процесс умножения выглядел следующим образом: составлялась таблица из двух столбцов, первый из которых начинался единицей, а второй – множимым; затем последовательно удваивались соответственные числа этих столбцов до тех пор, пока в первом становилось возможным, суммируя некоторые из его членов, получить в сумме множитель; сумма соответствующих чисел второго столбца давала произведение.

Пример1. Задача № 32 из папируса Райнда сводится к умножению 12x12:

1 12; 2 24; '4 48; '8 96; Вместе 144

Необходимые слагаемые 4 и 8 множителя 12 отмечались косой чертой. Иногда использовалось сокращение этой процедуры умножением на 10.

Пример 2. Пусть требуется умножить 14 на 80:

1 80; '10 800; 2 160; '4 320; вместе 1120

Заметим, что египтяне писали справа налево, поэтому запись в подлиннике выглядит иначе. Деление производилось как действие, обратное умножению. Брался делитель и путем удвоения подбиралось число, равное делимому.

Пример 3. Задача из папируса Райнда № 69 сводится к делению 1120 на 80. Указание гласит: «Умножай 80 (буквально: складывай, начиная с 80), пока не получишь 1120». Итак, деление 1120 на 80 выполнялось следующим образом:

1 80; '10 800; 2 160; '4 320; 14 1120;

Сравнивая последние два примера, видим, что графически алгоритм деления почти полностью совпадал с алгоритмом умножения.

Н аряду с удвоением при делении употреблялось раздвоение. Условимся n (черточка в дальнейшем аликвотные дроби 1/n записывать в виде символизирует египетский знак ).

Пример 4. Для вычисления частного 19 на 8 пользовались схемой:

1 8; 2 16'; 4; 2'; 1'; 19

Нередко при отыскании дробной части частного египетский математик начинает деление пополам не с делителя, а с 2/3 делителя.

Пример 5. Разделим 16 на 3:

1 3'; 2 6; 4 12'; 2; 1'; 16

Имеем: 16:3= 5+

В принципе, в данном примере можно было обойтись и без четвертой строки, брать сразу 1/3 от 3 из первой строки. Но египтяне никогда этого не делали. Они не находили 1/3 даже от 3 непосредственно. Чтобы это сделать, они сначала находили 2/3 от 3, используя индивидуальную дробь , а потом снова делили на 2. Таким образом, деление шло с помощью двух процессов:

1. Составлялся половинный ряд: ,…;

2. Составлялся следующий ряд: ,…, т.е. сначала находили 2/3 числа, а затем половину полученного результата и далее половину следующего и т.д.

Выводы. Рассмотренные примеры показывают, что техника вычисления у древних египтян находилась еще на сравнительно низком уровне. Древнеегипетские приемы умножения и деления довольно громоздки. Операция умножения прошла длительный путь развития, пока не обособилась от сложения. И первый шаг к ее обособлению был сделан древними египтянами через удвоение, т.е. через умножение на два.