Раздел 2. Растяжение и сжатие

Растяжение. Основные понятия, допущения и зависимости.

Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N. Прямой брус, работающий на растяжение, наз-ся стержнем.

Согласно методу сечений рассечём растянутый стержень и отбросим его левую часть, то для уравновешивания внешней силы F (равнодействующая сис-ма сил крепления образца) достаточно в сечении приложить только один внутренний силовой фактор – нормальную силу N.

N=F – условие равновесия. Остальные внутренние силовые факторы в данном случае равны 0. При растяжении стержень нах-ся в напряжённом состоянии. Напряжение при растяжении σ=N/S, где S – площадь поперечного сечения. Нормальное напряжение направлено также как и нормальная сила.

Ряд допущений:

- по всей длине участка действ. внутр. сила;

- внутр. сила по попереч. сечению распределена равномерно;

- по всей длине участка l значение деформации ∆ l и Е постоянны.

Если в рез-те алгебраич-го сложения проекций внешних сил получилось, что N>0, то нормальная сила направлена от сечения и стержень в этом сечении испытывает растяжение; иначе стержень испытывает сжатие.

Если стержень нагружен большим числом осевых сил направленных в противоположные стороны, то применяется правило знаков при определении нормальной силы: проекции внешних сил, направленных от сечения, положительны и, наоборот.

П ри переходе от одного сечения к другому нормальная сила изменяется, поэтому строят графики изменения значения нормальной силы N по длине бруса, кот. наз-ся эпюрами.

Растяжение, закон Гука. Основные понятия и зависимости, влияние на абсолютное удлинение стержня.

Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N.

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы. l – начальная длина, b – начальная ширина, ∆ l – абсолютное удлинение, ∆b – абсолютное сужение.

Относительная продольная деформация Ε:

Ε=∆l/l.

При растяжении тела происходит изменение его поперечного сечения, т.е. сужение. Линейная (поперечная) деформация:

Ε₁=∆b/b.

Данные деформации учитывают в точных расчётах.

μ=Ε1/Ε – коэф-т относительной деформации, или коэф-т Пуассона, - хар-ка пластичности материала.

В пределах упругих деформаций между нормальным напряжением и продольной деформацией сущ-ет прямопропорциональная зависимость (Закон Гука): σ=ΕΕ, где Е – модуль упругости (модуль Юнга), хар-ет жёсткость материала, т.е. сопсобность сопротивляться деформациям, Па.

Так как σ=F/S, то получим зависимость между нагрузкой, размерами стержня и возникающей деформацией: F/S= Е ∆l/l, откуда ∆l= Fl/ Е S. Произведение Е S наз-ют жёсткостью сечения. Следовательно, абсолют. удлинение стержня прямо пропорционально вел-не продольной силы в сечении, длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.

Деформация при растяжении (продольные, поперечные, коэф-т Пуассона).

Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N. Деформация – когда деталь изменяет линейные размеры и больше не возвращается в начальное состояние.

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы. l – начальная длина, b – начальная ширина, ∆ l – абсолютное удлинение, ∆b – абсолютное сужение.

Относительная продольная деформация Ε:

Ε=∆l/l.

П ри растяжении тела происходит изменение его поперечного сечения, т.е. сужение. Линейная (поперечная) деформация:

Ε₁=∆b/b. Е и Е₁ безразмерные величины.

Данные деформации учитывают в точных расчётах.

μ=Ε1/Ε – коэф-т относительной деформации, или коэф-т Пуассона, - хар-ка пластичности материала. Его величина находится в пределах 0…0,5 (для пробки μ=0, для резины μ=0,5).

Растяжение. Напряжение на наклонной поверхности стержня.

Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N.

Разрежем стержень по сечению под углом α с осью Oy и отбросим левую часть. Правая часть сохраняет равновесие , так как сила F, действующая на перпендик. оси Ox площадку ∆S, уравновешивается силой F, действующей на наклонную площадку ∆S’=∆S/cosα, т.е. σ∆S=Р∆S/ cosα.

В озникшее на наклонной площадке полное напряжение Р= σ cosα..

Разложив напряжение Р на 2 составляющих, находим нормальное и касательное напряжения: σ_α=Р cosα= σ cos²α и τ_α=Рsinα=0,5 σsin2α.

Из формул следует:

При α=0: σ_α= σ, τ_α=0

При α=45: σ_α= 0,5σ, τ_α=0,5σ

При α=90: σ_α=0, τ_α=0

Значит, максимальное нормальное напряжение возникает в поперечных сечениях бруса; максимальное касательное напряжение возникает в сечениях, наклоненных к оси стержня под углом 45.

Определение деформации стержня под нагрузкой и сравнение её с допускаемой наз-ют расчётом на жёсткость. А также проводят расчет на прочность стержня.

Г ипотеза Бернулли; Поперечное сечение бруса плоское до деформации остается плоским и после деформации, тоесть продольные волокна удлиняются на одну и ту же величину.

Продольная деформация-изменение длины бруса в направлении действия силы

Поперечная деформация-изменение длины бруса перпендикулярно направлению действия силы

Абсолютная продольная деформация (удлинение)- Δ L=L₁-L [M], [CM]

Относительная продольная деформация (удлинение)- ε_x=Δl/l

Абсолютная поперечная деформация - Δа=а₁-а, Δв =в₁-в[Б/Р]

Относительная поперечная деформация: ε_y=Δa/a

ε_z=Δb/b.

Коэффициент Пуассона: υ=|ε_y/ε_x|

Коэффициент Пуассона характеризует физ. свойства материалов – способность сопротивляться поперечной деформации

Закон Гука: σ =εE

Е- коэффициент пропорциональности, модуль Юнга, модуль продольной упругости или модуль упругости первого рода характеризует физ, свойства материалов- способность сопротивляться продольной деформации..

Условие прочности: σ ≤[ σ]

Условие жесткости: Δl≤[l]

Растяжение и сжатие

N = F

 — нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м²,

10⁶Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм²

N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F — площадь сечения [м²]

 — относительная деформация [безразмерная величина];

L — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L — длина стержня [м].

— закон Гука —  = Е

Е — модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 210⁵МПа = 210⁶ кг/см² (в "старой" системе единиц).

(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

; — закон Гука

EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина — а уменьшается на поперечную деформацию — а.

— относительная поперечная деформация.

— коэффициент Пуассона [безразмерная величина];

 лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для стали  0,250,3.

Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:

Работа при растяжении: , потенциальная энергия:

Учет собственного веса стержня

Продольная сила N(z) = P + FL;

Р — сила, действующая на стержень,  — удельный вес, F — площадь сечения.

Максимальное напряжение: . Деформация:

Условие прочности при растяжении (сжатии) _max [],

[] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).

У чугуна [_раст][_сж], у стали и др. пластичных материалов [_раст]=[_сж].

Механические хар-ки. Диаграмма растяжения.

Н а диаграмме растяжения фиксир-ся растяжение конкретного материала до его полного разрушения, с целью оценки характерных механич. хар-к материала. Деформация исследуется для упругопластичного материала (н-р, малоуглерод.сталь)

Т. А соот-ет предел пропорциональности (это максимальное напряжение до которого материал соответствует закону Гука): σ_пц=F_пц/S.

Т. Б соот-ет предел упругости (это такое максимальное напряжение, при кот. после снятия нагрузки материал вернётся в исходное состояние): σ_упр=F_упр/S. Область упругих деформаций.

Т. С соот-ет предел текучести (это такое напряжение, при кот. без видимого изменения нагрузки материал течёт). Если снять нагрузку, то материал вернётся в положение Е₁. Область остаточных деформаций.

После т. С необходимо приложить дополнит. силу до т. Д – это зона упрочнения. Т. Д – временный предел прочности (максимальное напряжение, при кот. материал не разрушается). Если снять нагрузку в т. Д, то материал вернётся в положение Е₂, и его использовать нельзя.

Т. Е – разрушение образца.

Tgα – модуль упругости.

Испытание материалов на сжатие

 

  Наряду с испытанием на растяжение большое распространение имеет испытание материала на сжатие, которое применяется главным образом для хрупких материалов. Разрушение хрупких материалов при сжатии так же , как и п ри растяжении, происходит при незначительных остаточных деформациях.

  На рис.7 показаны диаграммы сжатия и растяжения (штриховой линией) чугуна. Для чугуна, как и для других хрупких материалов, основной характеристикой прочности при растяжении и сжатии является предел прочности Опч. Хрупкие материалы значительно лучше сопротивляются деформации сжатия, чем деформации растяжения. Механические   характеристики большинства пластичных материалов при растяжении и сжатии примерно одинаковы и они, как правило, определяются испытанием на растяжение.