9.Скалярное произведение векторов,Перечислить свойства(Без доказательств)Физический смысл

Скалярным произведением векторов А В называют число равное произведению длин векторов на cos угла между ними.

(a,b)=a*b=|a|*|b|*cos угла (а,b)

Cвойства….-1)Связь с проекцией (a,b)=|a|прab=|b|пр_ba.2)Скалярное произведение векторов перестановочно. 3)(a,b+c)=(a,b)+(a,c). 4)(a,λb)=λ(a,b). 5)(a,a)=|a|²- скалярный квадрат.6)Условие перпендикулярности a,b ≠0,a перпендикулярна b →(a,b)=0.Физический смысл-Пусть материальная точка движется прямолинейно вдоль вектора S под действием силы F направленной под углом к S,тогда скалярное произведение этих векторов даёт работу совершаемую силой F.

10.)Доказать любые 3 свойства скалярного произведения.

Свойство 1 ….по свойству 1 п4 (пр_aAB)=|AB|cosϕ)пр_аb=|b|cos угла(a,b)подставим в скалярное произведение(a,b)=|a||b|cos угла(a,b)=|a|пр_аb….

Свойство 2….(a,b)=|a||b|cos угла(a,b)=|b||a|cos угла(a,b)=(b,a)….

Свойство 5….(a,a)=|a||a|cos угла (a,a)=|a|²cos0⁰=|a|²…..

11.)Вычисление скалярного произведения через координаты векторов(Вывод)

(a,b)=(x_1i+y₁j+z₁k;x₂i+y₂j+z₂k)=(по 2,3,4 свойству)=

x₁x₂(i,i)+x₁y₂(I,j)+x₁z₂(I,k)+y₁x₂(j,i)+y₁y₂(j,j)+y₁z₂(j,k)+z₁x₂(k,i)+z₁y₂(k,j)+z₁z₂(k,k)=(по свойству 5,6)=

x₁x₂|i|²+y₁y₂|j|²+z₁z₂|k|²=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂…..

12.)Векторное произведение векторов.Его геометрический и механический смысл.Перечислить свойства,Векторное произведение в координатной форме.

Векторным произведением 2х векторов A B называется вектор C обладающий свойствами:

1)|c|=|a||b|sin угла(a,b)

2)c перпендикулярен а, с перпендикулярен b

3)a,b,c-правая тройка векторов.

Геометрический смысл-Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.Механический смысл – Пусть А твёрдого тела приложена сила F,В-некоторая точка пространства,тогда момент М силы F относительно В вычисляется по формуле М=[BA,F]

Свойства:

1)[a,b]=-[b,a]

2)a,b↔[a,b]=0 условие коллиниарности векторов.Если один из векторов нулевой то свойство очевидно.

3)[a,λb]=λ[a,b]

4)[a,b+c]=[a,b]+[a,c].

A=(a₁,a₂,a₃).B=(b₁,b₂,b₃) [a,b]=

13)Смешанное произведение векторов.Перечислить свойства.

Смешанным произведением векторов abc называют число равное скалярному произведению одного из векторов на векторное произведение двух других.

Свойства:

Геометрический смысл модуля смешанного произведения-Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда построенного на этих векторах.

1)V=|(a,b,c)|

2)(a,b,c)=([a,b],c)=(a,[b,c])

3)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b) – циклическая перестановка

4)(a,b,c)=-(b,a,c)

5)(λa,b,c)=λ(a,b,c)

6)3 вектора abc компланарны ↔ (a,b,c)=0

14)Смешанное произведение в координатной форме(вывод)

Теорема: A=(a1,a2,a3) B=(b1,b2,b3) C=(c1,c2,c3)→(a,b,c)= .

Доказательство:(a,b,c)=([a,b],c)

[a,b]= =ia11+ja12+ka13=I - J + K

([a,b],c)=c1 - c2 +c3

=c1A13+c2A32+c3A33=c1 - c2 + c3 ……..