4)Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии компланарности векторов.

a,b,c-компланарны тогда и только тогда когда один из них является линейной комбинацией двух других

///=> Пусть a,b,c компланарны предположим что никакие 2 из них не коллинеарны перенесем 3 вектора в общее начало на плоскости.

Построим параллелограмм с диагональю на векторе и по правилу параллелограмма сложение векторов C=OA+OB A,OA-коллинерны по теореме 2.3.1

Пусть A,B –коллинеарны тогда по теореме 2.3.1

Ǝ! α не=0 такое что b=α=αa+a*c

<=)C=αa+αb a,b,c компланарны по основным операциям сложения и умножения вектора на число///

5)Проекция вектора на ось. Перечислить свойства.

Опр.: осью называется направленная прямая

AB и проведем через точки a и b плоскости перпендикулярные оси A₁ ,B₁ –точки пересечения плоскостей с осью.

Опр.: Проекцией a,b на ось U называется величина(+,-)|A₁ B₁|отрезка оси “знак + берется если вектор и ось одинаково направленны” “знак – берется если вектор и ось противоположно направленны ” обозначается пр_uAB

Опр.: углом между векторами называется наименьший угол на который надо одтн вектор повернуть к другому, при условии что их начало находится в одной точке.

Свойства проекции

1)если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю.

2)проекция суммы векторов равна нулю.

3)При умножении вектора на скаляр его проекция умножается на на этот скаляр пр_u αa= αпр_ua

4)равные векторы имеют равные проекции.

5)пусть e единичный вектор оси U

A₁B₁=пр_uAB*L b= αa

6)доказательство 3 свойств проекции вектора на ось.

1)///перенесем AB параллельно самому себе в пространстве так чтобы A принадлежал U

пр_uAB=|AB₁|={из треуг.ABB₁}=|AB|cos ɣ|///

7)Стандартный базис и прямоугольная декартова система координат в пространстве. Координаты вектора. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису в прстранстве.

Опр.: Упорядоченная тройка векторов a,b,c называется правой тройкой векторов, если поворот от первого вектора a ко второму b на наименьший угол происходит против часовой стрелки для наблюдателя направленного к вектору c.

Опр.: стандартным базисом в пространстве называется упорядоченная тройка векторов I,j,k:такое что

1)|i|=|j|=|k|=1

2)(i препенд.j)(i препенд.k)(j препенд.k)

3)(I,j,k)-правая тройка векторов

Опр.: Прямоугольная декартова система координаты в пространстве определяются

1)точка О-начало координат

2)стандартным базисом (I,j,k)

Теорема 2.5.1

Любой вектор AB в пространстве может быть единственным образом разложен по базису I,j,k представлен в вид AB=xi-yj+zk

Опр.: прямоугольными координатами векторов в пространстве называют его проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат.

Опр.: радиусом вектора точки называется вектор идущий из начала координат в эту точку координатами точки называющегося координатой и ее радиуса вектора.

Векторная алгебра

8.Длина вектора через координаты,направляющие косинусы,расстояние между точками,координаты вектора через координаты точек начала и конца,координаты середины отрезка,линейные операции между векторами в координатной форме