Линейная алгебра

1. Понятие матрицы, ее порядка. Квадратная, прямоугольная, треугольная, единичная матрицы.

О пр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида a₁₁ а₁₂ … а_1n

а₂₁ а₂₂ … а_2n = А= (а_ij)

а_m1 а_m2 … а_mn

а_ij – это элемент матрицы стоящей на пересечении i-й строки и j-того столбца.

Опр. Матрица называется прямоугольной порядка m*n если число строк m не равно числу столбцов n.

Матрица называется квадратной порядка n если m=n.

Матрица называется треугольной если все элементы стоящие под или над главной диагональю = 0.

Матрица у которой на главной диагонали стоят единицы а все остальные элементы =0 называется единичной и обозначается E=E .

2) Операции над матрицами: сумма, произведение, умножение матрицы на число.

Суммой двух матриц А(a_ij), B(b_ij) одного порядка называется матрица С=(c_ij) такого же порядка у которой каждый элемент c_ij=a_ij+b_ij.

Произведением матрицы A=(a_ij) на число λ называется матрица C(c_ij) такого же порядка каждый элемент которой равен c_ij=λc_ij.

Произведение матрицы A=(a_ij) порядка m*k на матрицу B=(b_ij) порядка k*m называется матрица C=(c_ij) порядка m*n , каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элемента i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В т.е.

C_ij=a_i1*b_1j+a_i2*b_2j+…+a_in*b_nj

Замечание 1: Количество столбцов 1 матрицы должно быть равно кол-ву строк второй матрицы, иначе умножение не определено.

Замечание2: Умножение матриц в общем случае не перестановочно. АВ не равно ВА

3) Определители 2-го, 3-го, n-го порядка. Правило треугольников. Определитель треугольной матрицы.

Опр. Определителем 2-го порядка соответствующего матрице

А = а₁₁ а₁₂ называется число обозначаемое одним из

а₂₁ а₂₂

С ледующих символов = |А| = det A= a₁₁ a₁₂ и

a₂₁ a₂₂

о пределенное равенством а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂ =а₁₁*а₂₂-а₂₁*а₁₂

Опр. Определителем 3-го порядка соответствующим матрице

а₁₁ а₁₂ а₁₃

А= а₂₁ а₂₂ а₂₃ называется число число одним из следующих

а₃₁ а₃₂ а₃₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

символов = А = det A = a₂₁ a₂₂ a₂₃ и определяется

a₃₁ a₃₂ a₃₃

р авенством a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*а₃₁+

a₃₁ a₃₂ a₃₃

+а₂₁*а₂₃*а₁₃ - а₃₁*а₂₂*а₁₃ – а₂₁*а₁₂*а₃₃ – а₃₂*а₂₃*а₁₁

Этот способ определителя называется правилом треугольников

Определитель n-го порядка: Введем определитель 4-го порядка как число получающееся по следующему правилу.

Замечание 1: Формула разложения определителя по 1-й строке аналогично можно ввести определитель более высокого порядка. Все свойства определителей остаются справедливыми.

Замечание2: С помощью свойств любой определитель можно привести к треугольному виду определитель треугольного вида равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.

4) Перечислить все свойства определителей. Доказать любое из них.

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании .

2. Перестановка 2-х строк (2-х столбцов) равносильна умножению определителя на -1.

3. Если определитель имеет 2-е одинаковые строки (2-а одинаковых столбца), то он равен 0.

4. Умножение всех элементов одной строки (одного столбца) определителя на число лямбда равносильно умножению всего определителя на это число.

5. Если определитель содержит 0-ю строку (0-й столбец) то он равен 0. (Для док-ва расписать по правилу треугольников).

6. Если 2-е строки (2-а столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

7. Если определитель содержит 2-е одинаковые строки (2-а одинаковых) столбца то он равен 0.

8. Если каждый элемент некоторой строки (некоторого столбца) определителя представляет собой сумму 2-х слагаемых то определитель то определитель может быть представлен в виде суммы 2-х определителей один из которых содержит в этой строке (столбце) первые из упомянутых слагаемых, другой вторые, элементы стоящие на остальных местах во всех 3-х определителях одинаковы.

9. Величина определителя не изменится если к элементам некоторой строки (некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (др. столбца) умноженные на любое число

10. Минором M_ij элемента a_ij определителя называется определитель полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца . Определение: Алгиброическим дополнением А_ij к элементу a_ij определителя называется минором M_ij умноженной на (-1) в степени i+j. A_ij=(-1) степень ij * Mij

11. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (любого столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Опр: Это свойство называется разложением определителя по строке или столбцу.

12. Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна 0.