5) Обратная матрица. Теоремы о существовании и еденственности (без доказательства). Алгоритм получения обратной матрицы.

Обратной матрицей А в степени -1 к матрице А. Называется матрица для которой выполняется А*А в степени -1 = АА=Е

Теорема 1: Если для матрицы существует обратная то она единственная.

Теорема 2: Для матрицы А существует А в степени -1 тогда и только тогда , Когда модуль А не равно 0.

Алгоритм получения обратной матрицы:

1. Вычислить определитель проверить что не равно 0.

2. Найти алгебраическое дополнение к каждому элементу матрицы.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений и транспонировать ее.

4. Разделить все элементы полученной матрицы на определитель.

6) Понятие ранга матрицы. Элементарные преобразования. Ранг матрицы трапециевидной формы.

Рассмотрим матрицы порядка m*n, выберем в ней любые n строк и k столбцов (k<= m,n) элементы стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу к-го порядка определитель который называется минором л-го порядка данной матрицы.

Рангом матрицы А называется максимальный из порядков её миноров отличных от нуля. Если все элементы матрицы равны 0, то ранг = 0. rang A=r(A)=r

Элементарные преобразованиями называют следующие преобразования над строками или столбцами матрицы:

1. Перестановка местами 2-х строк (2-х столбцов) матрицы.

2. Транспонирование матрицы.

3. Умножение всех элементов любой строки (столбца) на число отличное от нуля.

4. Отбрасывание нулевых строк или столбцов.

5. Прибавление к элементам строки (столбцов) соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на любое число.

Теорема: Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Теорема: с помощью элементарных преобразований, любую матрицу можно привести к виду трапеции.

а₁₁ а₁₂ … a_1k … а_1n

0. a₂₂ … a_2k … a_2n

………………………..

0 0 … a_kn …a_kn

0 0 … 0 … 0

……………………….

7) Система линейных уравнений, ее решение. Системы однородные, неоднородные, совместные, несовместные, определенные, не определенные.

Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел c₁, …..c_n которая при подстановке вместо неизвестных образует каждое уравнение системы в тождество.

Системы называю эквивалентными, если они не имеют решений или имеют одинаковые решения.

Матрица, составленная из коэффициентов и неизвестных называется матрицей системы.

Расширенной матрицей системы называется матрица, полученная из матрицы системы добавлением справа столбца свободных членов.

Система линейных уравнений называется:

1. Совместной, если существует хотя бы одно решение.

2. Не совместной, если не существует решений.

3. Определенной, если имеет только одно решение.

4. Не определенной если имеет более одного решения.

5. Однородный если все ее свободные члены = 0.

6. Не однородной если хотя бы 1 из свободных членов не равно 0.

8) Расширенная матрица системы. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли и теорему о числе решений системы.

Теорема Кронекера-Капелли :

Для того что бы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно что бы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы т.е. r(A)=r(A)(B) – ранг системы.

Теорема о числе решений:

Если ранг системы равен числу неизвестных r=n, то система определена если r < n система не определена.

9) Доказать правило Крамера для системы 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными.

Теорема правило Крамера:

Е сли определитель системы ≠0, то система определена формулами:

X₁= 1/ , Х₂= 2/ , Х₃= 3 /

Замечание : Правило Крамера справедливо для любой системы n линейных уравнений с n неизвестными.

10) Матричный метод решения системы линейных уравнений.

Теорема: Пусть матрица системы А квадратная (пусть m=n) и невырожденная (|A| не равен 0) тогда система АХ=В совместна имеет единственное решение которое можно найти по формуле

Х=А в степени -1 * В

Док-во: |A| не равно 0, то существует А в степени -1

АХ=В, А в степени -1* Ах=А в степени -1 * В. Х= А в степени -1*В.

11) Метод Гаусса. Выбор базисных и свободных переменных. Общее и частное решение.

С помощью элементарных преобразований строк и столбцов приведем расширенную матрицу (А/В) к матрице (А1/В1) трапецевидной формы.

При этом система уравнений соответствующая матрице (Аr/Вr) отличается от исходной, то будет эквивалентной. Столбцы переставлять можно, но надо при этом записывать какой неизвестной соответствует столбец. Столбец свободных членов не переставляют. Нулевые строки можно не писать.

Неизвестные соответствующие первым r столбца, называем базисными, а остальные свободными.

Свободными неизвестными могут принимать любые значения.

Значения базисных неизвестных определяются единственным образом через значения свободных.

Формулы, выражающие базисные неизвестные через свободные есть общее решение системы уравнения.

Частное решение системы - решение системы которое получается из общего подстановкой вместо свободных неизвестных некоторых числовых значений.