27. Системы векторов, операции над ними.????????

28. Ранг матрицы

В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).Из определения следует:

1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).

2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.

3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.4) Прибавление каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.5) Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.Ранг ступенчатой матрицы равен r , так как имеется минор r-го порядка неравный нулю │А│= а₁₁∙а₂₂ ∙…∙а_rr.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Для совместных систем линейных уравнений верны следующие утверждения:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система (1) определенная и имеет единственное решение;

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r < n, то система (1) - неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

Пусть r<n, тогда r переменных называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r переменных называются неосновными (или свободными).

Решение системы (1), в котором все n- r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

29. Линейные операторы и матрицы

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства то говорят: что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и записывают y=A(x).

Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства и любого числа λ выполняются следующие соотношения:

Выберем в пространстве базис

и запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

В силу линейности оператора получим:

т.к так же вектор из ,то его можно разложить по базису.

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг r матрицы А - рангом оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: Всякой матрице n-го порядка соответствует оператор n-мерного пространства.

Определим действия над линейными операторами:

1. Суммой двух линейных операторов и называется оператор определяемый

равенством

2. Произведением линейного оператора на число λ называется оператор

определяемый

Произведением линейных операторов и называется оператор

определяемый

Определим нулевой оператор переводящий все векторы пространства в нулевые вектора

и тождественный оператор действующий по правилу

Теорема Матрицы А и А* линейного оператора в базисах е₁,е₂, ..е_n и е₁^*,е₂^*, ..е_n^* связаны соотношением А*=С^-1АС, где С – матрица перехода от старого базиса к новому.