2.Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись  a R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R . В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут  a R .  

 

Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

 

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством множества  В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В . Эта зависимость между множествами называется  включением. Для любого множества  А имеют место включения:  А  и  А  А .

Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда либо  е А ,  либо  е В .  

 

Произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда   е А  и  е В .

Разность множеств А и В ( пишется  А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричная разность множеств А и В ( пишется  А \ В  ) есть множество:

 

А \ В  = ( А – В ) ( В – А ).

 

 Свойства операций над множествами:

Операции над множествами

[править] Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

• пересечение:

• объединение:

Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .

• разность (дополнение):

• симметрическая разность:

• Декартово или прямое произведение:

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел

• Х={x₁,x₂,...,x_n} — множество некоторых элементов x₁,x₂,...,x_n

• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел

• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех натуральных чисел
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел. Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: число — отношение длины окружности к её диаметру; число — названное в честь Эйлера и др.; Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3. Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

• Для всякой подпоследовательности верно, что .

• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.