Свойства двойственных оценок.

В экономике вектор у, называется вектором двойственных оценок или «теневыми ценами». Двойственные оценки сырья и т.д.

Свойства:

1. y*i – является покупателем дефицитности i-го ресурса (i=1,m) Оценка не дефицитного ресурса –0 (y*=0) , если аijxj<bi Чем выше yi (оценка ресурса), тем ресурс дефицитнее.

2. Y*i=dzmax/dbi y*i=lim ▲Zmax/▲bi (bi->0) => y*i≈▲Zmax/▲bi => Zmax=y*i*▲bi

3. Вектор y*i – является показателем необходимости введения в производство j- технологии Х*j( aijy*i-Cj)=0 , если aijy*i>Cj, то выгодно (Cj- цена ед. продукции) =>Х*j=0 , то не надо выпускать продукцию Х*j>0 , то затраты совпадают с доходами .

4. Вектор У является показателем сопоставимости затрат на ресурсы (у*1b1+y*2b2..) со стоимостью продукции.

Транспортная задача.

Дадим постановку транспортной задачи в общем виде.

Пусть имеется m- пунктов производства однородного продукта, мощности каждого пункта соответственно = а1 а2 а3 … аь(столбец) , имеется n- пунктов потребления данной продукции. Потребности которых составляют соответственно b1 b2 bn (строка) Известны затраты на перевозки единицы продукции из i-го пункта j- потребителю, которые составляют Сij денежных единиц. Требуется спланировать перевозки таким образом что бы суммарные затраты были минимальными.

Математическая модель. Матрица С – матрица затрат. Обозначим через Xij кол-во единиц продукции от i-ог производителя j-потребителю. =>матрица m*n где последний элемент Xmn/ из условия Xij>=0 3)

Предположим что српос = предложению т.е. сумма всех аi= сумме всех bj

х11+х12+…+х1n =a1

x21+x22+…+x2n =a2 m

2) xm1+xm2+…+xmn = am

x11+ x21 +xm1 = b1

x12+ x22+ xm2 = b2 n

x1n+ x2n+ +xmn=bn

1. Z=C11X11+C12X12+…+CmnXmn->min

Бывают задачи типа закрытого и открытого.

А) предположим что спрос >предложения , т.е. сумма ai< суммы bj . Тогда что бы перейти к закрытой задачи вводят фиктивного производителя мощность которого равно am+1= а в транспортно таблице вводится новая строка m+1 в которой am+1= ,а затраты = 0 (Cm+1,j=0)

Б) Если > , т.е. предложение выше чем спрос. Вводят фиктивного потребителя bn+1= - , а в таблице добавляем фиктивный столбец с затратами =0

Очевидно что Т.З. является Л.П., то можно решить симплекс методом., но таблица которая будет состоять к примеру из 100 столбцов – считать не удобно , то используют такие методы как : распределительный метод, метод дифференциальных рент, метод потенциалов.

Особенности т.З.

1. Все ограничения равенства ( в закрытой)

2. Все переменные входят в систему ограничений, входят в систему либо 0 или 1

3. Каждая переменная входит в С.О. только два раза.

4. Теорема о существовании решения.

Т.З. всегда имеет оптимальное решение если сумма ai= сумме bj.

Д ок-во: Z= CijXij->min =ai (i=1,m)

=bj (j=1,n) Xij>=0

Очевидно что решением будет Хij = aibj/ =aibj/

Просуммируем по i: = aibj/ ai = bj ai/ ai = bj

Про суммируем по j : = ai Xij=min(ai;bj)