lekcia_08

Колебания. Основные понятия.

Колебаниями называются движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Периодические колебания – повторяются через равные промежутки времени.

Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Гармонические колебания (ГК)– колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний:

S Acos ω0t φ

А – амплитуда колебаний величины;

0 - круговая (циклическая) частота; - начальная фаза колебания в t=0;

( 0t+ )- фаза колебания в момент времени t, φ – начальная фаза.

Период колебаний Т – промежуток времени, за который определенные состояния колебательной системы повторяются. Или это время совершения одного полного колебания.

За один период фаза получает приращение 2π. Следовательно: T 2π ; T 1c

ω0

Энергия колебаний.

Пусть МТ совершает прямолинейные ГК вдоль оси x около положения равновесия.

Координата МТ: x Acos ω0t φ Скорость и ускорение:

v-Aω0sin ω0t φ Aω0 cos ω0t φ π

2

a -Aω02 cos ω0t φ Aω02 cos ω0t φ π

Сила, действующая на МТ: F ma -mω02x

Возвращающая сила – пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия.

Кинетическая энергия МТ:

Потенциальная энергия МТ, колеблющейся под действием упругой силы:

Примеры гармонических осцилляторов

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением: s ω02s 0

Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий ГК.

Возвращающая сила – сила упругости

F=-kx

Уравнение движения маятника:

m

Период колебаний:

Потенциальная энергия:

Колебания гармонические только при малых смещениях и малой массе пружины.

Примеры гармонических осцилляторов

L - приведенная длина физического маятника.

Точка О’, отстоящая от оси на L называется центром качания физического маятника

Примеры гармонических осцилляторов

Математический маятник – идеализированная система, состоящая из МТ массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Математический маятник можно представить как частный случай физического: вся масса сосредоточена в точке С, момент инерции: I ml2

Тогда период колебаний математического маятника:

T 2π l g

Физический смысл приведенной длины физического маятника: это длина математического маятника, который изохронен (имеет тот же период колебаний) данному физическому маятнику.

Крутильный маятник: цилиндрическое тело, подвешенное на упругой нити или подвесе и совершающее крутильные колебания вокруг оси подвеса.

Применение: часовые механизмы, вискозиметры, определение момента инерции тел.

Сложение гармонических колебаний

Сложим ГК одного направления и одинаковой частоты:

x1 A1cos ω0t φ1x2 A2 cos ω0t φ2

Построим векторные диаграммы этих

колебаний. Т.к. А1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью, то разность фаз

между ними остается постоянной. По правилу параллелограмма находим амплитуду результирующего колебания.

Колеблющаяся МТ, участвуя в двух ГК одного направления и одинаковой частоты, также совершает ГК с той же частотой и амплитудой, зависящей от разности фаз складываемых колебаний.

Биения применяются при точном измерении частоты, радиоприеме, генерации колебаний.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения 2-х ГК одинаковой частоты , происходящие в ┴ плоскостях x и y. Пусть начальная фаза 1-го колебания =0.

Колебание эллиптически поляризовано. Ориентация эллипса и параметры его осей зависят от A, B и .

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Если А=В то получаем частный случай – уравнение окружности.

Такое колебание циркулярно поляризовано.