lekcia_08

Фигуры Лиссажу

Вынужденные колебания

Для получения незатухающих колебаний в реальной системе необходимо компенсировать потери энергии. Это может сделать внешняя периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

Рассмотрим пружинный маятник. Запишем уравнение колебаний:

Колебания, возникающие в системе под действием внешней периодически изменяющейся силы называются вынужденными.

Его можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению:

Вынужденные колебания

Решение уравнения (2) складывается из общего решения однородного уравнения:

s A0e δt cos ωt (3)

и частного решения неоднородного уравнения:

Слагаемое (3) играет существенную роль только в процессе установления колебаний (начальная стадия) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет стационарного значения (4).

Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты .

Согласно выражению (5) амплитуда имеет максимум при частоте рез

называемой резонансной частотой.

Найдем минимум подкоренного выражения в знаменателе:

Продифференцируем подкоренное выражение по и приравняем 0:

4 ω02 ω2 ω 8 2ω 0

Физический смысл имеет решение: ω ω02 2 2 ωрез

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте равной или близкой к собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.

Чем меньше затухание, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При → 0 все кривые достигают одного значения – статического отклонения:

x0 F0 ω02 mω02

Если → 0, то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

Резонанс имеет полезные и вредные проявления.

Проявления резонанса

Вредные проявления:

- усиление колебаний деталей машин и механизмов, вызванных вибрацией. Ограничивает максимальную частоту вращения валов турбин, колес автомобилей, число оборотов двигателей внутреннего сгорания и т.д. Устраняется тщательной балансировкой вращающихся деталей и ограничением частоты вращения.

-акустический резонанс, приводящий к искаженному воспроизведению звуков музыкальными инструментами и электронной звуковоспроизводящей аппаратурой. Устраняется демпфированием – смещением резонансной частоты в сторону от рабочей области частот. Все помещения для звукозаписи обиты специальными материалами для поглощения резонансных явлений.

Пример акустического резонанса – если громко говорить или петь перед гитарой, то струны будут «отзываться», т.е. начинать звучать.

Полезные проявления:

- селективное усиление слабых колебаний с определенной частотой, поглощение колебательной системой излучения с определенной частотой. Применение в радиоэлектронике, акустике, звуковоспроизведении, оптике, ЯМР, ЭПР, молекулярной спектроскопии.

Вынужденные колебания и нанотехнологии Пьезокварцевые бионаносенсоры

Применение – аналитическая химия, диагностика заболеваний, электронные органы чувств – «электронный нос», «электронный язык».

Физический принцип – кварцевая пластинка совершает вынужденные колебания на резонансной частоте. Эта частота зависит от массы пластинки, температуры, типа и вязкости окружающей среды.