8. Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
8.1. Законы сохранения
На движение сплошных сред распространяются общие законы природы. Среди этих законов особенно важное и наиболее общее значение имеют законы сохранения. В механике обычно рассматриваются законы сохранения четырех величин: массы, количества движения, момента количества движения и энергии.
Все законы сохранения относятся к так называемым изолированным системам. Будем в дальнейшем называть систему изолированной или замкнутой в том случае, если через контрольную поверхность - окружающую систему - нет переноса массы, количества движения и энергии. На изолированную систему не действуют внешние силы.
Количество движения системы материальных точек, как известно из теоретической механики, есть векторная величина, равная произведению массы системы на скорость ее центра инерции.
Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во все время движения, т.е. количество вещества остается постоянным или
.
(8.1)
Закон сохранения количества движения утверждает, что при движении изолированной системы общее количество движения остается постоянным во все время движения, т.е.
.
(8.2)
Так как
(m
- масса данной системы, а
- скорость ее центра инерции), то
.
Но по закону сохранения массы для данной системы m = const, поэтому
.
Отсюда видно, что ускорение центра инерции изолированной системы равно нулю
.
Если изолированная система состоит из отдельных частей, то
,
где
- массы
отдельных частей данной системы;
- скорости их
центров инерции.
При = const, имеем
или
.
Отсюда следует, что если одна часть системы с массой получила некоторое изменение скорости дивижения , то остальные части изолированной системы должны изменить свои скорости так, чтобы выполнялось последнее равенство.
Закон сохранения момента количества движения утверждает, что при движении изолированной системы момент количества движения системы относительно некоторой точки, равный
,
где
- радиус-вектор центра инерции части
системы с массой
;
- скорость центра инерции этой части,
остается постоянным во все время движения, т.е.
,
(8.3)
так как
.
Отсюда следует, что если внутри изолированной неподвижной системы в некоторый момент времени часть системы придет в движение, то остальная часть системы должна прийти в такое движение, чтобы общий момент количества движения оставался равным нулю.
Закон сохранения энергии гласит, что сумма всех видов энергии Е в изолированной или замкнутой системе остается во все время движения величиной постоянной, т.е.
.
(8.4)
8.2. Закон изменения количества движения
Из курсов физики
и теоретической механики известна
теорема об изменении количеств движения,
согласно которой производная по времени
от главного вектора количеств движения
массы, заключенной в некотором объеме
,
равна главному вектору всех внешних
сил
,
приложенных к объему
.
(8.5)
Рассмотрим применение этой теоремы к стационарно движущемуся потоку жидкости.
Когда количество движения жидкости в объеме , заключенном внутри некоторой неподвижной (так называемой контрольной) поверхности s, будет равно
.
Подставив значение
в уравнение
(8.5), получим
.
Так как, согласно
закону о сохранении массы в течение
всего времени масса частиц жидкости
остается постоянной, т.е.
,
то предыдущее равенство запишется
следующим образом
или в проекциях на оси координат
;
;
.
Сделаем далее
преобразования лишь для проекции на
ось х.
Так как для стационарного движения
и
а
;
;
.
то
Очевидно, что
второй интеграл в правой части обращается
в нуль, так как при стационарном движении
сжимаемой жидкости
.
Пользуясь формулой Остроградского - Гаусса для связи интегралов по поверхности s и по объему , заключенному в этой поверхности, в форме
,
получим выражение изменения количества движения в проекции на ось х в виде
где
есть проекция
вектора скорости на нормаль к площадке
ds
и, следовательно,
есть масса жидкости, проходящая через
элементарную площадку контрольной
поверхности
s.
Проделав аналогичные операции с проекциями на оси у и z, получим
;
.
Следовательно, уравнение импульсов или закон изменения количеств движения для стационарного движения любых жидкостей и всех сплошных сред (мука, пыль, песок и пр.) можно представить в векторной форме в следующем виде
.
(8.6)
Можно заметить, что полученный закон изменения количеств движения для сплошных сред существенно отличается от ранее приведенной его формулировки для твердого тела. Это отличие выражается в том, что вместо производной по времени от количества движения некоторого твердого тела с объемом для сплошной среды рассматривается так называемый перенос количества движения через замкнутую контрольную поверхность s. Причем для определения изменения количеств движения некоторой массы жидкости, заключенной внутри контрольной поверхности, достаточно изучить только то, что происходит на этой контрольной поверхности.