- •1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
- •2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
- •4. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •5. Функциональные ряды. Область сходимости
- •6. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •2. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •8. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •12. Примеры функциональных пространств
1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и составим сумму ее членов Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда.
Сумма первых n членов ряда . - n-ой частичная сумма.
Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают , . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится и суммы не имеет.
Теорема 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.
Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.
Доказательство. Пусть Sn—сумма n первых членов ряда, Ck —сумма k отброшенных членов, Qn-k - сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn= Ck + Qn-k
где Ck — постоянное число, не зависящее от n.
Из последнего соотношения следует, что если существует , то существует и если существует , то существует , а это и доказывает справедливость теоремы.
Теорема 2. Если ряд a1 + a2 + … an сходится и его сумма равна s, то ряд
ca1 + са-2 + ...can , где с — какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна сs.
Доказательство. Обозначим n-ю частичную сумму 1 ряда через Sn, а 2 ряда— через . Тогда
Отсюда ясно, что предел n-й частичной суммы ряда (4) существует, так как
Итак, ряд сходится и его сумма равна сs.
Теорема 3. Если ряды a1+a2+… и b1 + b2 + . . . сходятся и их суммы, соответственно, равны , то ряды (a1+b1) + (a2+b2) + … и (a1 – b1) + (a2 – b2) + … также сходятся и их суммы, соответственно, равны и .
Необходимое условие сходимости ряда.
Теорема.
Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.
Доказательство.
Пусть данный ряд сходится. Тогда по определению сходящегося ряда
;
так как вместе с также и , то , т.е.
Здесь , а .
Поэтому
Отсюда , что и требовалось доказать.
Нарушение необходимого признака устанавливает расходимость ряда. Это значит, что если некоторого ряда , то такой ряд является расходящимся. В этом случае применение необходимого признака дает законченный результат. Если же для некоторого ряда этот признак выполнен, то соответствующий ряд может быть и сходящимся и расходящимся. В таких случаях, т.е. при выполнении условия , вопрос о сходимости ряда требует дальнейшего исследования.
Действия с числовыми рядами
Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, т.е. сохраняют сумму ряда, только если она существует):
Линейная комбинация рядов
Если ряды и сходятся, то сходится и ряд (α, β — постоянные), при этом
Группировка членов ряда
Сгруппируем слагаемые ряда , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если а каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.
Перестановка членов ряда
Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного A (в том числе , , ) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к A (расходится к , , ) либо не имеет предела (теорема Римана).