7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 (1.1) где a0, a1, a2, …,an,…, а также x0 – постоянные числа. Точку x0 называют центром степенного ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором  , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что   Наоборот, если ряд (12) расходится при  , то он расходится при всех значениях x таких, что   

Доказательство. Пусть числовой ряд

   (1.3) сходится. Поэтому   Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что   для всех n=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд

   (1.4) 

предполагая, что   Так как   и при этом   то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

 

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при    Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема 1.2. Для степенного ряда (1.2) возможны только три случая:

1)    ряд сходится в единственной точке x=0;

2)    ряд сходится при всех значениях x;

3)    существует такое R>0, что ряд сходится при всех значениях x, для которых   и расходится при всех x, для которых   

Определение 1.2. Интервал (-R,R), где число R определено в теореме 1.2, называется интервалом сходимости ряда (1.2), а число R – радиусом сходимости этого ряда.

Теорема о радиусе сходимости.

Для каждого степенного ряда   существует   , удовлетворяющее свойствам:

• Если  , то ряд сходится только при   .

• Если  , то ряд сходится при любых  .

• Если  , то ряд сходится при   и расходится при  .

Сходимость на любом отрезке внутри интервала равномерная.

Число   - радиус сходимости степенного ряда.

Формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

1. Если существует (конечный или бесконечный) предел  , то радиус сходимости степенного ряда   вычисляется по формуле:

2. Если существует (конечный или бесконечный) предел  , то:

 

Замечание. Ряд   с центром   сводится к   заменой   .

Все наши результаты переносятся на общие степенные ряды.

В частности, ряд сходится на   и расходится вне соответствующего отрезка.

 

     Теорема 4: Если ряд   имеет радиус сходимости  , то такой же радиус сходимости имеют ряды   и  .

Итак, если формально проинтегрировать или продифференцировать ряд  , то радиус сходимости не изменится.

 Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда  .

Используем формулу Коши-Адамара  .

Область сходимости имеет вид   или  .

Проверим сходимость ряда на границах области: при   числовой ряд   расходится, т.к. не выполнено необходимое условие

сходимости. Аналогичный результат получим при  . Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал  .

8. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена.

Свойства степенных рядов

Отметим здесь, без доказательства, три важных свойства степенных рядов. 1.Сумма   степенного ряда (2) является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости  . 2.Ряд , (4) полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости  . Сумма ряда (4)  . Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма   ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости  . Сумма ряда полученного из ряда (2)  – кратным дифференцированием, равна  . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится. 3. Пусть числа   и   принадлежат интервалу сходимости  ряда (2). Тогда имеет место равенство (5)

Разложение ф-ций в степ ряды Пусть функция   бесконечно дифференцируема в   и является суммой степенного ряда: (1) где  –интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что функция   разлагается в степенной ряд в окрестности точки   или по степеням  . Определим коэффициенты   этого ряда, для чего продифференцируем   раз ряд (1). (1) …   …   …  … …   …  …   …   …   …   …   …   …   …   …   …   …   … Все ряды имеют интервалы сходимости  . При  из полученных тождеств получаем:  ,  ,  ,  , …,  , … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1):  ,  ,  ,  , …,  , … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем (2) Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции   в точке  . В частном случае при   ряд (2) принимает вид: (3) и называется рядом Маклорена. Таким образом, если функция   является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции  . Рассмотрим  –ю частичную сумму ряда Тейлора: (4) Многочлен (4) называется многочленом Тейлора степени n. Разность   называется остаточным членом ряда Тейлора. Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке   функция   являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы  . Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа: , где  –некоторое число из интервала  . Таким образом (5) Формула (5) называется формулой Тейлора, а ее частный случай при   называется формулой Маклорена: , где  . 9. Разложение функций в ряд Тейлора. Остаточный член ряда. Большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1: Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды: 1) где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением  2) k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой Пример 12. Разложить в ряд Тейлора в окрестности   функцию  . Разложим в ряд производную данной функции  , воспользовавшись табличным разложением для функции  . Проинтегрировав общий член полученного ряда, и, учитывая, что y(0)=0, получим искомое разложение:  .

10. Применение степенных рядов для приближенных вычислений Степенные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах.   Пример 1. Вычислить   с точностью до 0,001. Воспользуемся разложением   Тогда = - 0,0238+0,0046 –0,0008≈0,7475≈0,748. Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.   Вычислить e0,1 с точностью до 0,001. Для функции ex формула Тейлора имеет вид: ex=1+x+ +Rn(x), где Rn(x)=  где с (0;x). При x=0.1 получаем знакоположительный числовой ряд. Так как при этом с (0;0,1), 0,1 [0;0,5], то 0<c<0,1<0,5 и ec<e0,5<2. Тогда   Необходимо взять столько членов ряда, чтобы выполнялось условие:  0,001 или  0,0005. При x=0,1 получаем e0,1≈1+0,1+ ≈1+0,1+0,005+0,0002≈1,1052≈1,105. Так как 0,0002<0,0005, то достаточно взять четыре члена ряда.   Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение y′=y+x2, y(0)=-2 методом последовательного дифференцирования. Будем искать решение в виде ряда Маклорена: y(x)=y(0)+  . Вычислим производные: y′=y+x2, y″=y′+2x, y″′=y″+2, y(4)= y″′, …, y(n)= y″′ при n=4, 5, … . При x=0 получаем: y(0)=-2, y′(0)=-2, y″(0)=-2, y(n)(0)=0 при n=3, 4, 5. Окончательно получаем y(x)=-2-2x-x2. 11. Сходимость по норме. Гильбертовы пространства

Сходимость по норме - сходимость последовательности { х п}в нормированном векторном пространстве Xк х,определяемая следующим образом:   если   при   Здесь   - норма в X.

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО - комплексное векторное пространство ,являющееся бесконечномерным полным евклидовым пространством. Это означает, что Г. п.   есть множество элементов, на к-ром, помимо операций векторного пространства (сложения и умножения на число), задана также комплекснозначная ф-ция от пары аргументов х, у из , , обозначаемая (х, у)и удовлетворяющая след. условиям (аксиомам): 1)   ; (х, x)=0лишь при x=0; 2) (х, y+z)= (х,у)+ (x,z); 3)   ,   (x,у)=(у,х)*; *означает комплексное сопряжение (иногда рассматривают вещественные Г. п., к-рые являются векторными пространствами над полем   и удовлетворяют аксиоме 3 с  ). Ф-ция (х, у)наз. скалярным или внутренним произведением. В силу аксиомы 1 на  также определена неотрицат. ф-ция  , к-рая обладает всеми свойствами нормы на векторном пространстве; по отношению к ней   является нормированным и банаховым (т. е. полным нормированным) пространством. Нередко (напр., при квантовании эл--магн. поля) приходится рассматривать пространства, к-рые не являются полными в смысле сходимости по норме   и (или) допускают равенство (х, x)=0 для нек-рых   Каждое такое пространство наз. предгильбертовым; существует стандартная процедура, позволяющая достроить его до обычного Г. п. Применения Г. п. В матем. и физ. приложениях возникают разл. классы пространств, являющихся обобщениями Г. п. Осн. область применений этих пространств составляют ур-ния матем. физики. Сфера применений Г. п. в совр. физике почти необозрима. Г. п.- центральный матем. объект, лежащий в основе всего аппарата квантовой физики. Представление множества состояний физ. системы с помощью Г. п. есть фундам. элемент матем. структуры в самом широком спектре физ. теорий: квантовой механике, квантовой статистич. физике, классич. и квантовой теории поля; оно является возможным также и в классич. механике. Такой же универсальностью обладает и представление наблюдаемых физ. систем с помощью самосопряжённых операторов в Г. п. Наиб. тесная связь, достигающая почти полного сращивания между физ. и матем. исследованием, сложилась между аппаратом Г. п. и квантовой механикой. Наконец, широкие и разнообразные применения Г. п. находят при изучении ур-ний матем. физики, описывающих разл. физ. процессы.

Примеры

• Евклидово пространство.

• Пространство  . Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел  , для которых сходится ряд  . Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

.