- •(Механика жидкости и газа)
- •1. Вводные сведения
- •1.1. Предмет механики жидкости и газа
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •2. Основные физические свойства
- •2.1. Физическое строение жидкостей и газов
- •2.2. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2.3. Гипотеза сплошности
- •2.4. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.5. Неньютоновские жидкости
- •2.6. Термические уравнения состояния
- •2.7. Растворимости газов в жидкостях, кипение,
- •2.8. Законы переноса
- •2.9. Требования к рабочим жидкостям
- •3. Основы кинематики сплошных сред
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •3.5. Вихревое и безвихревое (потенциальное) движения
- •4. Силы, действующие в жидкостях
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Напряжения поверхностных сил
- •4.3. Напряженное состояние
- •5. Общие законы и уравнения статики
- •5.1. Уравнения движения в напряжениях
- •5.2. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.3. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.4. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •5.5. Примеры аналитических решений уравнений Навье-
- •6. Абсолютный и относительный покой
- •6.1. Основная формула гидростатики
- •6.2. Определение сил давления покоящейся среды
- •6.3. Относительный покой (равновесие) жидкости
- •Следовательно, вместо уравнения (6.5) можно записать:
- •7. Модель идеальной (невязкой) жидкости
- •7.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости.
- •7.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных
- •8. Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента
- •8.1. Законы сохранения
- •8.2. Закон изменения количества движения
- •8.3. Закон изменения момента количества движения
- •8.4. Силовое воздействие потока на ограничивающие
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •9. Подобие гидромеханических процессов
4.3. Напряженное состояние
Поверхностные силы, действующие в движущихся сплошных средах, существенно отличаются от поверхностных сил, действующих в покоящейся среде. Это отличие заключается не только в появлении касательных составляющих, которые в покоящейся жидкости отсутствуют, а также и в том, что нормальные составляющие сил изменяют свою величину. Найдем величины, определяющие поверхностные напряжения в некоторой точке сплошной среды. Для этого рассмотрим в движущейся жидкости элементарный тетраэдр с вершиной в точке О (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Расчетная схема элементарного тетраэдра
Площади боковых граней тетраэдра равны , причем индексы означают ось, перпендикулярно которой расположена грань. Наклонная грань имеет площадь, равную ; n - нормаль к этой грани. К каждой из рассматриваемых граней будут приложены поверхностные силы, в общем случае направленные под некоторым углом к грани. Обозначим вектор напряжения поверхностных сил, приложенных к грани, перпендикулярной оси х, через соответственно к граням, нормальным к осям у и z, через и . К наклонной грани приложено напряжение . Как видно из рис. 4.2,
;
; (4.7)
.
Второй индекс у проекций напряжений означает ось, на которую проектируются векторы напряжений , и .
Зная , и в соответствии с выражениями (4.7), можно определить вектор поверхностных сил , приложенный к площадке с любым заданным направлением орта нормали n.
Действительно, написав уравнение движения центра инерции тетраэдра с массой dm, получим
, (4.8)
где - скорость центра инерции тетраэдра;
F - плотность массовых сил.
Члены в уравнении, содержащие элементарную массу, являются величинами третьего порядка малости, в то время как остальные - второго порядка малости. Поэтому величинами, содержащими dm, пренебрегаем. Получим
. (4.9)
Из рис. 4.2 видно, что
;
; (4.10)
,
поэтому
, (4.11)
где ;
; (4.12)
.
Используя формулу (4.11), можно получить проекции вектора напряжений поверхностных сил, приложенных к площадке с любым заданным направлением n, на координатные оси х, у и z:
;
; (4.13)
;
Из выражений (4.7) и (4.11) видно, что напряжение в точке определяется совокупностью величин
. (4.14)
Таблица величин, определяющих напряженное состояние в точке, называется тензором напряжений. Составляющие будем называть компонентами тензора напряжений или просто компонентами напряжений.
Из рис. 4.2 видно, что диагональные составляющие тензора есть нормальные составляющие напряжений поверхностных сил, а - касательные составляющие напряжений.
Докажем, что компоненты касательных напряжений, симметричные относительно главной диагонали таблицы (4.14), попарно равны
. (4.15)
Рассмотрим элементарный жидкий параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 4.3), находящийся в равновесии.
Рис. 4.3. Расчетная схема элементарного параллелепипеда
Составим уравнение моментов сил, действующих на грани параллелепипеда, относительно оси, перпендикулярной грани dx, dz и проходящей через центр тяжести этой грани О,
(4.16)
Если пренебречь величинами четвертого порядка малости, то последнее уравнение примет вид
. (4.17)
Следовательно,
. (4.18)
Аналогично доказывается равенство других касательных напряжений
. (4.19)