Теорема Кронекера – Капели (с док.)

Для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы A равнялся рангу расширенной матрицы В. Если ранг А равен рангу В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг А равен рангу В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Док-во необходимости При доказательстве необходимости мы должны предположить, что какая-либо система совместна, и показать, что отсюда необходимо следует равенство рангов матриц А и В. Раз уравнения этой системы совместны, то они имеют решения, т. е. можно для неизвестных подыскать такие числовые значения x₁=m₁, x₂=m₂, …, x_n=m_n, что:

(1)

Найдем, чему равен ранг матрицы В. С этой целью в матрице В прибавим к элементам последнего столбца элементы первого, умноженные на –m₁; элементы второго, умноженные на — m₂ и т. д., наконец, элементы n-го, умноженные на — m_n

Тогда в силу равенств (1) матрица В, не меняя своего ранга, превратится в матрицу:

(a₁₁ a₁₂ … a_1n0)

B^’= (……………...)

(a_k1 a_k2 … a_kn0)

Последний столбец матрицы В' состоит из нулей, откуда очевидно, что ранг В' или, что то же, ранг В равен рангу матрицы А. Доказательство достаточности. При доказатель­стве достаточности мы должны предположить, что ранги матриц А и В равны, и показать, что выполнения этого достаточно для того, чтобы система была совместна.

Обозначим через r ранг матрицы А, равный рангу матрицы В. Без ограничения общности доказательства можно допустить, что отличный от нуля определитель D r-го порядка находится в ле­вом верхнем углу как матрицы А, так и матрицы В; в против­ном случае мы изменили бы соответствующим образом нумера­цию уравнений и неизвестных. Тогда первые r строк матриц А и В должны быть линейно независимы, а остальные строки за­висят от них. Это значит, что первые r уравнений системы линейно независимы, а остальные урав­нения будут линейно зависеть от них. Но зависимые уравнения мы смело можем отбросить, так как всякое решение первых r уравнений, очевидно, удовлетворяет и зависимому уравнению. Теперь могут представиться только две возможности: r = п или r<n. Разберём каждый случай отдельно. 1. Если r =n, то у нас будет n независимых уравнений с n неизвестными, причём определитель из коэффициентов отличен от нуля. Мы знаем, что такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамара. 2. Если r < n, то число независимых уравнений будет меньше числа неизвестных. Перенесём лишние неизвестные x_r+2, . . .,x_n, которые принято называть свободными в правые части. Эту систему можно решить относительно х_1, х₂, -.. , х_r по­тому, что определитель D r-го порядка из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля. Придавая свободным неиз­вестным произвольные числовые значения, получаем по форму­лам Крамара соответствующие числовые значения для х_1, х₂,... , x_r. Таким образом, при r < п получается даже не одно, а бесчисленное множество решений. Теорема доказана.